Wachstum und Zerfall

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[Zu den Aufgaben]

Die Exponentialfunktion findet in der Natur häufig ihren Gebrauch. So beschreibt sie zum Beispiel das Wachstum einer Bakterienkultur, oder den Zerfall eines radioaktiven Präparates. Auch findet die Exponentialfunktion ihren nutzen in der Wirtschaft. So kann man mittels ihr die Kapitalentwicklung bei einem festen Zinssatz berechnen. Natürlich gibt es noch etlich viele andere Anwendungszwecke der Exponentialfunktion.

Nun wollen wir einige Punkte besprechen, die häufig im Schulalltag von Bedeutung sind. Der erste Punkt ist die Darstellung einer Exponentialfunktion. Gewöhnlich hat sie die allgemeine Form: \[ f(x) = a \cdot b^{ x} \] Als Beispiel nehmen wir eine Kapitalanlage von 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 5% an. Dies würde uns die Funktion \[ K(t) = 5.000 \cdot 1{,}05^t \] liefern. Mit $a$ ist der Anfangswert gemeint und mit $b$ die prozentuale Entwicklung. Da nach einem Jahr 5% Zinsen anfallen, sind auf dem Konto also $100% + 5% = 105% = 1{,}05$ des Anfangsbestandes. Nun können wir diese Funktion aber auch in eine andere Darstellung umschreiben. Hierfür brauchen wir den Logarithmus.
Dieser Zusammenhang folgt, da $e^{\ln(b)} = b$ gilt. Also mit anderen Worten da $e^x$ und $\ln(x)$ Umkehrfunktion voneinander sind.
In unserem Falle hätten wir dann die zweite Darstellung: \[ K(t) = 5.000 \cdot e^{\ln(1{,}05) \cdot t} \approx 5.000 \cdot e^{0{,}048 \cdot t} \] Nun fragen sich bestimmt viele, wieso man diesen Zusammenhang kennen sollte. Meiner Meinung nach, sprechen die folgenden beiden Punkte für die zweite Darstellung:

• Das Ableiten einer $e$-Funktion ist einfacher!
• Das Lösen einer Gleichung ist einfacher, da man nur $\ln$ anwenden muss und dies auf dem Taschenrechner sofort eingebbar ist!

Natürlich sollte man sich auch über den Aufwand Gedanken machen, die zweite Darstellung zu nehmen.

Kommen wir nun zu einer Beispielaufgabe, an der wir verschiedene Punkte erklären können.

Bei einer Bakterienkultur wird die Anzahl der Bakterien stündlich festgehalten.

Zeit t (in Stunden)	0	1	2	3	4
Bakterienanzahl (in Tausend)	20	34	57,8	98,3	167

a) Begründen Sie, dass es sich um ein exponentielles Wachstum handelt.
b) Bestimmen Sie $k$ und $B_0$ aus der Wachstumsfunktion $B(t) = B_0 \cdot e^{k \cdot t}$, welche die Bakterienanzahl aus der obigen Tabelle beschreibt.
c) Geben Sie die Zeit an, in der sich die Kultur bei einer beliebigen Anfangsmenge $B_0$ verdoppelt hat.
d) Bestimmen Sie die Anzahl der Bakterien nach einem Tag.
e) Wann gibt es erstmals über 100 Millionen Bakterien in der Kultur?

Nun wollen wir jede Frage für sich behandeln.
a) Um entscheiden zu können, ob es sich bei einer Funktion um exponentielles Wachstum handelt oder nicht, schaut man sich die Quotienten aufeinander folgender Wertepaare an. Also den Wachstumsfaktor: \[ \frac{\text{Anzahl nach } t \text{ Stunden}}{\text{Anzahl nach } t-1 \text{ Stunden}} \] Setzen wir nun die Werte ein, so erhalten wir folgendes Bild: \begin{align} \frac{34}{20} &= 1{,}7 \\ \frac{57{,}8}{34}&= 1{,}7 \\ \frac{98{,}3}{57{,}3}&= 1{,}71 \\ \frac{167}{98{,}3}&= 1{,}69 \end{align} Somit ist der Wachstumsfaktor 1,7 und wir haben ein exponentielles Wachstum. Hätten wir lineares Wachstum, so würde die Quotienten immer kleiner beziehungsweise immer größer werden und nicht gleich bleiben.

b) Da $B_0$ der Anfangsbestand ist, folgt sofort aus der Tabelle $B_0 = 20$. Für unser $k$ erhalten wir, wie oben schon beschrieben: \[ k = \ln (\text{ Wachstumsfaktor}) = \ln (1{,}7) \approx 0{,}53 \] Somit lautet unsere Bestandsfunktion: \[ B(t) = 20 \cdot e^{\ln(1{,}7) \cdot t} \] c) Um diese Frage beantworten zu können, brauchen wir die Bestandsfunktion $B(t)$. Hier setzen wir einfach $2B_0$ gleich unserer Funktion. Dies machen wir, da $2B_0$ die doppelte Anzahl der Anfangsmenge darstellt. Anschließend müssen wir nur nach unser $t$ auflösen. \begin{align} 2B_0 &= B_0 \cdot e^{\ln(1{,}7) \cdot t} \qquad &&|:B_0 \\ 2 &= e^{\ln(1{,}7) \cdot t} \qquad &&| \ln\\ \ln(2)&= \ln\left(e^{\ln(1{,}7) \cdot t}\right) = \ln(1{,}7) \cdot t &&|:\ln(1{,}7) \\ t &= \frac{\ln(2}{\ln(1{,}7)} \approx 1{,}306 \end{align} Somit haben wir eine Verdopplungszeit von 1,306 Stunden.

d) Um die Bakterien nach einem Tag zu bestimmen setzen wir einfach $t=24$ in unsere Funktion ein (da 1 Tag = 24 Stunden) und erhalten: \[B(24) = 20 \cdot e^{\ln(1{,}7) \cdot 24} = 6.788.973 \] Also haben wir nach einem Tag etwa 6,7 Milliarden Bakterien in unserer Kultur.

e) Um zu berechnen wann er erstmals über 100 Millionen Bakterien gibt, setzen wir unsere Funktion gleich 100.000 und formen wie vorhin nach $t$ um: \begin{align} 100.000 &= 20 \cdot e^{\ln(1{,}7) \cdot t} \qquad &&|:B_0 \\ 5.000&= e^{\ln(1{,}7) \cdot t} \qquad &&|\ln \\ \ln(5.000) &= \ln(1{,}7) \cdot t &&|:\ln(1{,}7) \\ t&= \frac{\ln(5.000)}{\ln(1{,}7)} \approx 16{,}05 \end{align} Die Antwort lautet also nach gut 16 Stunden.