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Logarithmusfunktion


Die $e$-Funktion ist eine streng wachsende Funktion. Als solche Funktion besitzt sie eine Umkehrfunktion. Um die Umkehrfunktion einer Funktion zu finden, spiegelt man die Ausgangsfunktion an der Geraden $g(x) = x$.
3HTAM: Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion
Diese Umkehrfunktion nennen wir natürlichen Logarithmus, kurz $\ln(x)$. Ein weiterer Name ist, Logarithmus zur Basis $e$. Dies sollte vielleicht an die $e$-Funktion erinnern, wo die Basis gerade unser $e$ war. Allgemein besitzt jede Exponentialfunktion eine Umkehrabbildung zur jeweiligen Basis. Dies zum formellen, aber ich glaube man kann sich noch nicht sonderlich viel unter dem Logarithmus vorstellen. Dazu am Besten ein Beispiel.

Wir haben die Gleichung: \[ 10^x=100\] Natürlich sieht man schnell die Lösung der Gleichung, $x=2$. Aber wie macht man es rechnerisch, also mit dem Taschenrechner. Wir suchen eine Zahl $x$ für die $10^x=100$ ist. Man schreibt in einem solchen Fall: \begin{align} 10^x&=100 \\ \log_{10}(100) &= x \end{align} Auf dem Taschenrechner befinden sich zwei Tasten hierfür. Zum einen $\log$ und dann $\ln$. Mit $\ln$ meint man den natürlichen Logarithmus zur Basis $e$ und mit $\log$ den Logarithmus zur Basis $10$.
Somit kann man dann Gleichungen lösen, in denen Exponentialterme beziehungsweise Logarithmusterme vorkommen.

Nun zwei wichtige Punkte zur Logarithmusfunktion. Sei $f(x) = \log_a(x)$, dann sind zwei Punkte wichtig.
  • $x$ kann nur $> 0$ sein, da der Logarithmus nicht für negative Werte definiert ist. Dies liegt daran, dass die Umkehrfunktion, also eine Exponentialfunktion, als Asymptote die $x$-Achse hat.
  • $f(1) = 0$ für alle Basen $a$. Dies liegt daran, dass alle Exponentialfunktion durch den Punkt $(0|1)$ geht.
Nun wollen wir auch noch kurz über die Logarithmusgesetze reden, da diese wohl den meisten noch unbekannter sind, als die Potenzregeln. Man sollte beachten, dass die Klammer im inneren des Logarithmus nicht negativ sein darf.

Logarithmusgesetze

Im Folgenden sei $x,y,r > 0$ und $n \in \mathbb{N}$. Dann gelten die folgenden Regeln: \begin{align} \log_a(x\cdot y) &= \log_a(x) + \log_a(y) \\ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) &= \log_a(x) - \log_a(y) \\ \log_a\left(x^r\right) &= r \cdot \log_a(x) \\ \log_a\left(\frac{1}{x}\right) &= - \log_a(x) \\ \log_a\left(\sqrt[n]{x}\right) &= \frac{1}{n} \cdot \log_a(x) \end{align}
Da man in Aufgaben nicht immer den natürlichen oder 10er-Logarithmus ($\log_10(x)$) hat, kommt hier noch ein guter Punkt zum Thema Basiswechsel. Dort gilt folgende Regel: \[ \log_b(r) = \frac{\log_a(r)}{\log_a(b)} \] Dabei ist die Wahl von $a$ egal. Demnach braucht man nur den 10er- beziehungsweise den natürlichen Logarithmus um jeden Anderen berechnen zu können.

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