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Exponentialfunktion


Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form $f(x)= a \cdot b^x$, also wo unser $x$ im Exponent steht. $a$ darf jeden Wert annehmen, aber die Basis $b$ muss positiv sein. Nun stellen sich viele die Frage, wieso muss $b \geq 0$ sein. Dazu schauen wir uns einfach mal ein Beispiel an. \[ f(x)=(-1)^x \] Die dazugehörige Wertetabelle lautet:
$x$ 0 1 2 3 4
$f(x)$ +1 -1 +1 -1 +1
Wie man sieht springt der Funktionswert immer zwischen $+1$ und $-1$ hin und her. Aber da wir ja eine Funktion haben wollen, die nicht nur an ganzzahligen Stellen Funktionswerte besitzt, fragen wir uns, wie es beispielsweise bei $x=\frac{1}{2}$ aussieht. \[ f(0{,}5) = (-1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-1} \] Aber $\sqrt{-1}$ ist nicht definiert. Demzufolge muss $b$ immer $\geq 0$ sein.

Nun wollen wir uns einige Funktionen ansehen, um herauszufinden was bei einer Veränderung von $a$ und $b$ passiert. Wir nehmen die zwei Funktion \[ \color{red}{f(x) = 2^x} \qquad \color{blue}{g(x) = 3^x} \]
3HTAM: Zwei Exponentialfunktionen
Wir sehen, dass $g$ stärker wächst als $f$. Diese liegt an der Wahl von unserem $b$.

Exponentialfunktion - Satz 1

Je größer die Wahl von $b$ ist, desto stärker ist das Wachstum der Funktion im positiven $x$-Bereich.
Auch sieht man beiden Graphen an, dass sie im positiven Bereich bleiben und sich der $x$-Achse immer näher annähern. Die $x$-Achse wird aber nie berührt. Der Grund hierfür ist schnell erklärt. Wir schreiben $b^x$ einfach mal anders: \[ f(x) = \frac{1}{b^{-x}} \] Für $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}$ folgt: \[ \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{b^{-(-x)}} = \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{b^x} \] Wie man sieht, wird der Nenner immer größer und somit der Bruch immer kleiner. Null wird er nicht, da hierfür der Zähler Null sein muss. Dieser ist aber konstant gleich 1.

Exponentialfunktion - Satz 2

Ist $f(x)=a \cdot b^x$ mit $a \ne 0$ so nähert sich $f(x)$ der $x$-Achse an, ohne sie zu berühren.
Wir haben am Anfang gesagt, dass $b \geq 0$ sein soll. Nun wollen wir wissen, was passiert, wenn wir den Kehrwert von $b \ne 0 $ nehmen, anstelle von $b$. \[ \color{red}{f(x) = 2^x} \qquad \color{blue}{g(x) = 0{,}5^x} \]
3HTAM: Zwei Exponentialfunktionen
Wie wir sehen, sind die beiden Funktionen $y$-achsensymmetrisch.

Exponentialfunktion - Satz 3

$f(x)= b^x$ und $g(x)= \left(\frac{1}{b}\right)^x$ sind zueinander $y$-achsensymmetrisch.
Alle bisherigen Funktionen mit $a=1$ haben eine gemeinsame Sache. Sie haben alle den $y$-Achsenabschnitt bei 1. Was passiert aber, wenn wir $a=2$ setzen? \[ \color{red}{f(x) = 2^x} \qquad \color{blue}{g(x) = 2 \cdot 2^x} \]
3HTAM: Zwei Exponentialfunktionen
Hier sehen wir, wie wohl einige vermutet haben, dass die Funktion den neuen $y$-Abschnittspunkt 2 hat. Allgemeiner gilt:

Exponentialfunktion - Satz 4

$f(x)=a \cdot b^x$ geht durch den Punkt $(0|a)$.
Nun haben wir fast alles verändert. Bleibt dass wir für $a$ negative Werte einsetzen. \[ \color{red}{f(x) = 2^x} \qquad \color{blue}{g(x) = -2^x} \]
3HTAM: Zwei Exponentialfunktionen
Wir sehen, dass sich der Graph an der $x$-Achse gespiegelt hat. Es gilt die letzte Merkregel:

Exponentialfunktion - Satz 5

$f(x)= a\cdot b^x$ und $g(x)= -a\cdot b^x$ sind zueinander $x$-achsensymmetrisch.
Da viele nicht immer alle Rechenregeln kennen, möchte ich hier die Gängigsten vorstellen.

Potenzrechenregeln

Im Folgenden sei $a \ne 0$ und $r,s \in \mathbb{Z}$. Dann gelten die folgenden Regeln: \begin{align} a^0 &= 1 \\ a^{-s} &= \frac{1}{a^s} \\ a^{r+s} &= a^r \cdot a^s \\ a^{r-s} &= \frac{a^r}{a^s} \\ \left(a^r\right)^s &= a^{r\cdot s} \\ a^{\frac{s}{r}} &= \sqrt[r]{a^s} \end{align}
Hinweis: Zum Thema $0^0$ kann man sehr viel reden. Im Allgemeinen ist es recht nützlich, wenn man sagt, dass $0^0=1$ ist, da so viele Rechnungen vereinfacht werden.

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