Extremwertaufgaben

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[Zu den Aufgaben]

Extremwertaufgaben zeigen gut ein Anwendungsgebiet der Differentialrechnung. Mithilfe von Extremwertaufgaben untersucht man beispielsweise, wann ein Volumen unter gewissen Bedingungen maximal wird oder ein Umfang minimal. Dieses Verfahren wird auch oft in der Wirtschaft angewendet, zum Beispiel, welche Form am günstigsten in der Produktion ist. Am Besten erklärt man das Verfahren anhand eines Beispiels.

Ein Zaun der Länge 100 Meter soll eine möglichst große, rechteckige Fläche umgeben, die an einer Seite schon von einer Hauswand abgegrenzt wird. Wie lang sind die Seiten (Länge/Breite) zu wählen, um eine maximal große Fläche zu umzäunen?

Bei Extremwertaufgaben gibt es immer eine Art Kochrezept, um ans Ziel zu gelangen. Dieses wollen wir nun nach und nach ansehen.

1) Aufstellen der Funktion, die man braucht (Hauptbedingung): \begin{align} F &= \text{Länge} \cdot \text{ Breite} \\ F &= x \cdot y \end{align} 2) Aufstellung der Nebenbedingung:
Wir haben zwei Variablen, was für Extremwertaufgaben typisch ist. Nun brauchen wir eine Nebenbedingung, die in der Aufgabenstellung enthalten ist, um eine Variable los zu werden. Im ersten Satz steht, dass der Zaun eine Länge von 100 Meter hat. Dies bedeutet, da eine Seite mittels der Hauswand abgegrenzt wird, der Umfang der drei übrigen Seiten 100 Meter beträgt: \[ 100 = 2\cdot x + y \]

3) Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:
Nun muss man einfach die Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen. Hierbei sollte man drauf achten, wie anschließend die Hauptbedingung aussieht. Wenn man noch wenig Erfahrung in Sachen Extremwertaufgaben hat, dann sollte man einfach nach beiden Variablen umformen und beide Einsetzungen ausprobieren. Schnell merkt man, was die bessere Variante ist. \[ 100 = 2x + y \quad \Leftrightarrow \quad y = 100 - 2x \] Jetzt können wir unsere umgeformte Gleichung in die Hauptbedingung einsetzen und erhalten eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt. Wir nennen diese dann Zielfunktion. In unserem Falle hängt die Zielfunktion nur noch von $x$ ab. \[ F(x) = x \cdot ( 100 - 2x ) = 100x - 2x^2 \] 4) Zielfunktion ableiten:
Wir suchen die maximale Fläche, also das Maximum (Hochpunkt) der Funktion. Dazu müssen wir nun die Funktion ableiten und gleich Null setzen. \[F'(x) = 100 - 4x \] Nun setzen wir die 1. Ableitung gleich 0 und erhalten: \begin{align} F'(x) &= 0 \\ 100 - 4x &=0 \\ x &= 25 \end{align} 5) Überprüfen ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt:
Wir haben nun $x = 25$ Meter raus bekommen. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich wirklich um einen Hochpunkt handelt. Dies machen wir mittels der zweiten Ableitung. \[F''(x) = -4 < 0 \qquad \Rightarrow \quad \text{Hochpunkt bei } x = 25 \] 6) Einschränkung des Definitionsbereiches:
Als Nächstes müssen wir noch den Definitionsbereich einschränken und kontrollieren, ob unser Ergebnis in diesem Bereich liegt. Vielleicht fragen Sie sich, wieso wir das machen müssen. Dies liegt daran, dass es zum Beispiel, keine negative Längenangaben gibt und und und. In unserem Fall muss der $x$-Wert zwischen 0 und 50 liegen, da

• $x$-Wert $ < 0$: Eine Zaunlänge kann nicht negativ sein.
• $x$-Wert $ > 50$: Da laut Nebenbedingung $100 = 2x + y $ gilt, würde eine Zaunlänge größer 100 Meter raus kommen, was mehr ist, als wir zur Verfügung haben.

7) Überprüfen der Randwerte:
Ein häufiger Fehler bei solchen Aufgaben ist es, die Randwerte zu vergessen. Hier kann der Wert für die Fläche eventuell größer sein als beim Hochpunkt. Dazu setzt man einfach die Grenzen in $F(x)$ ein. \begin{align} F(0) &= 100 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0 \\ F(50) &= 100 \cdot 50 - 2\cdot 50^2 = 5000 - 2 \cdot 2500 = 5000 - 5000 = 0 \end{align} 8) $y$-Wert und maximale Fläche raus finden:
Als Letztes setzt man nun die Extremstelle in $F(x)$ und in die Nebenbedingung ein und erhält: \begin{align} F(25) &= 100 \cdot 25 - 2\cdot 25^2 = 2500 - 2\cdot 625 = 1250 \quad \text{maximale Fläche} \\ y &= 100 -2x = 100 - 2\cdot 25 = 50 \end{align} Zum Abschluss wollen wir noch einmal die Zutaten für das Kochrezept zusammenfassen.