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Steckbriefaufgaben


In diesem Abschnitt befassen wir uns mit dem Bestimmen von Funktionen. Dieses Themengebiet wird auch häufig als Steckbriefaufgaben bezeichnet, da man wie in einem Steckbrief die notwendigsten Informationen über eine Funktion erhält. Anschließend kann man die Funktion aufstellen. Dazu eine kleine Merkregel, wie viele Informationen man braucht.

Anzahl der Gleichungen

Man braucht in der Regel mindestens genauso viele Gleichungen über die Funktion, wie diese Variablen hat.
Am besten erklären wir das Vorgehen anhand eines Beispiels:
Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist gesucht. Die Form einer solchen Funktion ist demnach: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Die Funktion enthält somit 3 Variablen $( a,~ b,~ c )$. Um eine solche Funktion aufstellen zu können, muss man mindestens 3 Eigenschaften haben, damit man 3 Gleichungen aufstellen kann.
In der obigen Box steht, dass man in der Regel mindestens so viele Gleichungen braucht, wie es Variablen gibt. Eine Ausnahme von der Regel ist die Symmetrie, da diese die Anzahl der Variablen drastisch verkleinert, wie wir später sehen werden.

Wie geht man nun bei einer solchen Aufgabenstellung vor?

Prinzip: Anhand der gegebenen Informationen werden Gleichungssysteme aufgestellt. Diese werden anschließend nach den Variablen aufgelöst (Gauß-Verfahren, Einsetzungsverfahren, $\ldots$) und zuletzt wieder in $f(x)$ eingesetzt.

Nun kommen wir zu den Informationen, die wir anhand einer Beispielaufgabe besprechen:
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades, deren Graph die $y$-Achse in $-5$ schneidet und durch die Punkte $P(1,-2)$ und $Q(4,1)$ verläuft.

Zuerst schreiben wir $f(x)$ noch einmal allgemein auf: \[f(x) = ax^2 + bx + c \] $f'(x)$ brauchen wir hier nicht aufzuschreiben, da wir keine Angaben über die Steigung haben. Andernfalls, müsste man $f'(x)=2ax+b$ aufstellen. Nun wandeln wir die 3 Informationen in Bedingungen um.

Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $-5$ bedeutet: \[f(0) = -5 = a\cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c \quad \Rightarrow \quad c = -5 \] Für die beiden Punkte $P$ und $Q$ gilt nun natürlich: \begin{align} f(1) &= -2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b - 5 \\ f(4) &= 1 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 16a + 4b - 5 \end{align} Nun fehlen uns nur noch die Variablen $a$ und $b$. Dazu schreiben wir die zwei Gleichungen $f(1)= \ldots$ und $f(4) =\ldots$ untereinander. \begin{align} f(1) &= -2 = a + b - 5 &&|+5\\ f(4) &= 1 = 16a + 4b - 5&&|+5 \end{align} Daraus folgt: \begin{align} a + b &= 3\\ 16a + 4b &= 6 \end{align} Nun müssen wir nur noch eine Variable eliminieren. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine wäre beispielsweise $a+b=3$ nach $a$ oder $b$ auflösen und dann in $16a+4b=6$ einsetzen. Wir benutzen hier nun aber einfach mal das Additionsverfahren. Dazu multiplizieren wir die obere Gleichung mit $-4$ und erhalten: \begin{align} -4a -4b &= -12\\ 16a + 4b &= 6 \end{align} Als nächstes schreiben wie die erste Zeile unverändert auf und in die zweite Zeile schreiben wir die Summe der ersten und zweiten Zeile hin. Wir addieren also die erste Zeile auf die zweite Zeile hinauf. Im obigen Fall haben wir die erste Gleichung mit $-4$ multipliziert, damit sich bei der Addition die Variable $b$ zu Null addiert; $4b -4b=0$. Dies ist auch der Sinn des Additionsverfahren. Man versucht immer eine Variable zu eliminieren, indem wir sie zu Null addieren. \begin{align} -4a -4b &= -12\\ 12a + 4b-4b &=6-12 \end{align} Wir haben die Zeilen so miteinander addiert, dass wir in der zweiten Zeile eine Gleichung haben, die nur noch von $a$ abhängt. Diese können wir nun ganz einfach nach $a$ auflösen und erhalten: \[ 12 a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{2} \] Setzen wir nun $a=-\frac{1}{2}$ in einer der beiden Anfangsgleichungen ein, so bekommen wir: \begin{align} 16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 4b &= 6 &&\\ -8 + 4b &= 6 &&|+8 \\ 4b &= 14 &&|:4 \\ b &= \frac{7}{2}&& \end{align} Nun setzen wir $a,~b,~c$ ein und erhalten schließlich die Funktionsgleichung: \[ f(x) = -\frac{1}{2} x^2 + \frac{7}{2} x - 5 \]

Hinweis: Wenn in den Informationen drinnen steht, dass es sich um einen Hochpunkt handelt, so muss man anschließend dies auch kontrollieren. Also gilt $f''(x_a)<0$ oder nicht. Es kann sein, das es eine solche Funktion nicht geben muss. Gleiches gilt natürlich auch für einen Tiefpunkt oder Wendepunkt.

Bevor man aber diese Gleichungen aufstellen kann, muss man die nötigen Informationen richtig deuten. Hierzu eine kleine Tabelle mit einigen Informationen und der daraus gewonnenen Gleichung:

Text mathematisch
Der Graph hat den y-Achsenabschnitt $5$. $f(0)=5$
Der Graph hat die Nullstellen
$x_1=4$ und $x_2=7$
$f(4)=0$
$f(7)=0$
Der Graph der Funktion berührt die $x$-Achse bei $x_a$ $x_a$ ist doppelte Nullstelle und Extremstelle.
$f(x_a)=0$
$f'(x_a)=0$
Der Funktionsgraph hat bei $x_a$ einen Extrempunkt. $f'(x_a)=0$
Der Funktionsgraph hat bei $x_a$ einen Wendepunkt. $f''(x_a)=0$
Der Funktionsgraph hat bei $x_a$ einen Sattelpunkt. $f'(x_a)=0$
$f''(x_a)=0$
Der Funktionsgraph hat bei $x_a$ die Steigung $10$. $f'(x_a)=10$
Der Funktionsgraph hat bei $x_a$ eine Tangente mit der Steigung $10$. $f'(x_a)=10$
Der Funktionsgraph verläuft bei $x_a$ parallel zur Geraden $g:~g(x)=mx+b$. $f'(x_a)=m$
Der Punkt $P(1|2)$ liegt auf der Funktion. $f(1)=2$
Die Normale $n$ an der Stelle $x_a$ besitzt die Steigung $m$. $f'(x_a)=\frac{1}{m}$
Der Graph der Funktion verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktionsgleichung enthält nur ungerade Exponenten.
Der Graph der Funktion verläuft achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Die Funktionsgleichung enthält nur gerade Exponenten.

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