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Produktionsaufgaben


Kommen wir nun zu typischen Anwendungsaufgaben eine Kurvendiskussion. Produktionsaufgaben beschreiben die Vorgänge in einem Unternehmen bei der Herstellung. Sie geben Aufschluss über die Kosten, den Erlös und den dadurch resultierenden Gewinn. Um diesen Zusammenhang festzuhalten, schreiben wir:
Gewinnfunktion = Erlösfunktion - Kostenfunktion
$G(x)$ = $E(x)$ - $K(x)$
Wir wollen uns nun die drei einzelnen Funktionen etwas genauer ansehen.

Kostenfunktion: Die Kostenfunktion gibt an, wie hoch die Kosten für eine bestimmte Menge $x$ von einem Produkt sind. Sie sind häufig abhängig von der Anzahl zu produzierender Endprodukte, wächst also selten in linearer Form (wie eine Gerade), sondern meist parabelförmig: \[K(x) = ax^2 + bx + c \] $c$ sind hierbei die Fixkosten, die immer aufzubringen sind, wie zum Beispiel Miete oder Anschaffungskosten für die Produktion.

Erlösfunktion: Die Erlösfunktion ist dagegen meist linear wachsend. Bei doppelter Anzahl an verkauften Produkten macht man natürlich den doppelten Erlös. Die dazugehörige Funktion mit dem Preis $p$ sieht demnach wie folgt aus: \[E(x) = p \cdot x \]

Gewinnfunktion: Die Gewinnfunktion ist nichts anderes als die Differenz zwischen Erlös- und Kostenfunktion: \[G(x) = E(x) - K(x)\]

Bei Produktionsaufgaben geht es eigentlich nur um die Untersuchung der Gewinnfunktion $G(x)$. Diese wird auf verschiedene Merkmale hin untersucht:
  • In welchem Intervall ist eine Produktion lohnenswert?
  • Zu welchem Zeitpunkt macht das Unternehmen ihren größten Gewinn?
  • $\ldots$
Beispiel für eine solche Gewinnfunktion ist $f(x)=-x^2+6x-5$.
3HTAM: Abbildung einer Gewinnfunktion
In welchem Intervall eine solche Produktion Sinn macht wird einem klar, wenn man sich den Graphen ansieht. Im Bereich $1 < x < 5$ ist die Funktion positiv. Dies bedeutet, dass der Gewinn positiv ausfällt, man also einen Gewinn macht. Um dieses Intervall aus zurechnen, muss man einfach die Nullstellen der Funktion bestimmen.

Der Zeitpunkt, an dem man den größten Gewinn macht, ist nichts anderes als der Zeitpunkt, an dem der Graph der Gewinnfunktion sein Maximum hat. Diese Stelle kriegt man mithilfe der ersten Ableitung raus. Diese dann gleich 0 setzen und nach $x$ auflösen. Danach den Wert in die zweite Ableitung einsetzen. Ist diese an der Stelle $x$ negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt.
Wieso wir das Maximum der Funktion wollen sollte einem klar sein, da die Funktion ja gerade den Gewinn / Verlust des Unternehmens angibt. Da wir den maximalen Gewinn haben wollen, müssen wir den maximalen Funktionswert suchen. Diesen finden wir, wie schon bei der Kurvendiskussion über die erste Ableitung. Natürlich sind auch hier wieder die Randwerte zu beachten. Hier sollte man sich klar machen, wieso negative $x$-Werte keinen Sinn machen.

Häufig werden auch Interpretationen verlangt. Bei diesen sollte man sich immer klar machen, was passieren kann wenn man mehr produzieren muss. Dann könnten die Kosten pro Stück natürlich fallen. Was aber auch passieren kann ist, dass die Kosten pro Stück wieder steigen, wegen überhöhten Energieverbrauch oder Verschleiß von Maschinen oder mehr Beschäftigten, da man mehr Aufwand hat.

An dieser Stelle wollen wir noch zwei weitere Begriffe definieren, die ab und an vorkommen.

Grenzkosten

Grenzkosten sind die Steigung der Kostenfunktion, also: \[ \text{Grenzkosten } = K'(x) \]
Interessant sind zuletzt auch noch die Durchschnittskosten.

Durchschnittskosten

Mit Durchschnittskosten sind die Gesamtkosten pro Einheit gemeint. Diese berechnet man mittels folgenden Quotienten: \[ \text{Durchschnittskosten } = \frac{K(x)}{x} \]

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