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Wachstum und Zerfall


1) In einem Gebiet in den USA hat man vor 4 Wochen einen Heuschreckenschwarm von circa 100.000 Tieren entdeckt. Man geht davon aus, dass sich der Schwarm exponentiell vermehrt und zwar wöchentlich um 50%.
a) Wie viele Tiere leben heute in dem Schwarm?
b) Ab einem Bestand von 20 Millionen Tieren spricht man von einem großen Schwarm. In wie vielen Tagen ist dies der Fall?

2) Der Bestand einer Menge $A$ in einem Online-Kaufhaus kann durch $B(t) = B_0 \cdot 0{,}94^t$ beschrieben werden ($t$ in Tagen und $B_0$ der Anfangsbestand).
a) Wie viele Produkte sind in den ersten drei Tagen verkauft wurden?
b) Berechnen Sie die wöchentliche Abnahme des Bestandes in %.
c) Geben Sie $B(t)$ in folgender Form an $B(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$.

3) 2003 hatte Bangladesh ($B$) rund 133 Millionen Einwohner bei einer jährlichen Wachstumsrate von 2%. Russland ($R$) hatte hingegen 145 Millionen Einwohner bei einer Wachstumsrate von $-0{,}6$%.
a) Bestimmen Sie die Bevölkerungszahlen von $B$ und $R$ in Abhängigkeit von der Zeit.
b) Wann hat sich die Einwohnerzahl von Bangladesh verdoppelt?
c) Wann leben in Bangladesh und Russland gleich viele Einwohner?

4) Tritium $^3$H zerfällt ungefähr nach folgendem Gesetz $N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}056 \cdot t}$ ($t$ in Jahren und $N_0$ Anfangsbestand in mg).
a) Wie viel Prozent der Ausgangsmasse sind noch nach 60 beziehungsweise 100 Jahren vorhanden?
b) Wie groß ist die Halbwertszeit $t_H$ von Tritium $^3$H.
c) Wie groß ist die Zerfallsgeschwindigkeit $N'(t)$ nach einem Jahr bei $N_0 = 100$ mg?
d) Ist die Zerfallsgeschwindigkeit abhängig von der noch vorhandenen Menge? Wenn ja wie?

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