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Nullstellen und Grenzverhalten einer Exponentialfunktion


Wir wollen nun zwei Themen näher erklären, die häufig für bei einer Untersuchung von Exponentialfunktionen zu Problemen führt. Dies sind die Nullstellenberechnung und das Grenzverhalten der Funktion.

Nullstellenberechnung:
Als Beispiel wollen wir die Nullstellen von $f(x) = x^2 \cdot e^x - e^x$ berechnen. Da $e^x$ nirgends Null werden kann, können wir durch $e^x$ dividieren. Dies ist ein sehr häufiger Trick den man immer im Kopf haben sollte. Also setzen wir zuerst $f(x) =0$ und klammern $e^x$ aus. \begin{align} 0 &= x^2 \cdot e^x - e^x \qquad &\\ 0 &= e^x \cdot \left(x^2 -1 \right) \qquad & | :e^x \\ 0 &= x^2 -1 \end{align} Vom letzten Ausdruck können wir die Nullstelle $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$ wie gewohnt ausrechnen, beispielsweise mit der $PQ$-Formel.

Trick bei der Nullstellenberechnung

Folgende Trick sollte man immer bei der Berechnung von Nullstellen beachten.
  • Kann man einen Exponentialterm ($e^x$ oder ähnliches) ausklammern?
  • Wenn ja, dann kann man anschließend auf beiden Seiten durch den Exponentialterm dividieren, da dieser nicht Null werden kann.
Hat man anschließend immer noch einen Exponentialterm, so ist es eventuell hilfreich die Umkehrfunktion auf beiden Seiten anzuwenden.
Zur Erinnerung: Die Umkehrfunktion von $e^x$ ist $\ln(x)$.

Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches:
Für das Randverhalten einer Exponentialfunktion gibt es einige Tricks. Es gibt zwei Fälle die zu unterscheiden sind:
  1. eine Summe
  2. ein Produkt
a) Das Randverhalten einer Summe $-2x + e^x$ bestimmt man, indem man das Randverhalten der beiden Summanden bestimmt. Geht nun der exponentielle Summand gegen unendlich, so geht die ganze Funktion auch gegen unendlich. Geht der exponentielle Summand aber gegen Null, so geht die gesamte Funktion gegen den Randwert des anderen Summanden. In diesem Falle würde für das Randverhalten folgen: \begin{align} \lim\limits_{x \to - \infty} - 2x = + \infty \qquad \text{ und } \qquad \lim\limits_{x \to - \infty} e^x = 0 \\ \Rightarrow \lim\limits_{x \to - \infty} - 2x+ e^x = \infty \end{align} Und für die rechte Seite: \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} - 2x = - \infty \qquad \text{ und } \qquad \lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty \\ \Rightarrow \lim\limits_{x \to \infty} - 2x+ e^x = \infty \end{align}

b) Das Randverhalten eines Produktes $-2x \cdot e^x$ bestimmt man, indem man das Randverhalten beider Faktoren bestimmt. Das Verhalten der Exponentialfunktion gibt an, ob die Funktion gegen unendlich oder gegen Null geht. Der andere Faktor entscheidet nur über das Vorzeichen. Also ob es gegen + oder - unendlich geht. Der Grund hierfür liegt daran, dass eine Exponentialfunktion stärker wächst als eine lineare Funktion. Auch hier die kurze Beispielrechnung: \begin{align} \lim\limits_{x \to - \infty} -2x = \color{red}{+} \infty \qquad \text{ und } \qquad \lim\limits_{x \to - \infty} e^x = \color{blue}{0} \\ \Rightarrow \lim\limits_{x \to - \infty} -2x \cdot e^x = \color{red}{+} \color{blue}{0} \end{align} Und auch hier für $x \to +\infty$: \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} -2x = \color{red}{-} \infty \qquad \text{ und } \qquad \lim\limits_{x \to \infty} e^x = \color{blue}{\infty} \\ \Rightarrow \lim\limits_{x \to \infty} -2x \cdot e^x = \color{red}{-} \color{blue}{\infty} \end{align}

Exponentialterm ist dominierend

Untersucht man das Grenzverhalten einer Exponentialfunktion, so ist der Exponentialterm dominierender als der Term ganzrationalen Funktion. \[ e^x \quad \text{ist dominierender als} \quad x^a \] Demnach muss man sich immer zuerst den Exponentialterm anschauen.
Hinweis: Im Normalfall ist eine Aussage über $ \infty$ und $ -\infty $ nicht möglich, da man nicht weiß, wie stark was wächst. Da aber die Exponentialfunktion dominiert, können wir die obigen Aussagen treffen. Genauere Aussagen lassen sich mit L'Hospital zeigen, was in entsprechenden Kapitel erklärt wird.

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