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Ableitung einer Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion


Die $e$-Funktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $b = e \approx 2{,}718281828 \ldots$.
Diese Funktion ist von großer Bedeutung in den Naturwissenschaften, da sie oft in Wachstumsprozessen vorkommt. Eine der Besonderheiten der $e$-Funktion ist ihre Ableitung. Es gilt nämlich:

Ableitung der $e$-Funktion

\[f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)= e^x \]
In Worten: Die Ableitung der $e$-Funktion ist die $e$-Funktion selbst. Es gilt sogar, dass es keine weitere Funktion $f$ gibt, deren Ableitung die Funktion selbst ist mit der Bedingung, dass $f(0)=1$ gilt. Die Bedingung ist hier notwendig, da allein die Ableitungseigenschaft natürlich auch für alle Vielfachen der $e$-Funktion gilt.

Leider haben wir in den meisten Fällen nicht die $e$-Funktion vorliegen, sondern zum Beispiel wie folgt: \[ f(x)= e^{2x^2+4} \] Wir haben hier eine verkettete Funktion, für die wir die Kettenregel anwenden können. Also ergibt sich für die Ableitung: \[ f'(x)= \underbrace{e^{2x^2+4}}_{\text{äußere Abl.}} \cdot \underbrace{4x}_{\text{innere Abl.}} \] Nun kommen wir zur Ableitung der Logarithmusfunktion. Zuerst für den natürlichen Logarithmus $\ln(x)$. Es gilt dort.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

\[ f(x)= \ln(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)= \frac{1}{x} \]
Bei verketteten Funktion müssen wir auch hier wieder die Kettenregel anwenden. Also zum Beispiel: \[ f(x)= \ln(x^2) \quad \Rightarrow \quad f'(x)= \frac{2x}{x^2}= \frac{2}{x} \] Die allgemeine Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen lautet wie folgt:

Ableitung des allgemeinen Logarithmus

\[ f(x) = \log_{b}(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln(b)} \]
Auch hier wollen wir kurz noch ein Beispiel zur Verdeutlichung geben. \[ f(x) = \log_{4}(x^3-4x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)= \frac{3x^2-4}{(x^3-4x) \cdot \ln(4)} \] Zum Schluss wollen wir auch die Ableitungsregel für die allgemeine Form der Exponentialfunktion angeben.

Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

\[ f(x) = a \cdot b^x \quad \Rightarrow \quad f'(x)= a \cdot b^x \cdot \ln(b) \]
Als Beispiel möchte ich hier nur die $e$-Funktion angeben. \[f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \cdot \underbrace{\ln(e)}_{=1} = e^x \]

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