Im nachfolgenden Abschnitt finden sich einige
typische Aufgaben zur Integralrechnung.
An dieser Stelle wolle wir kurz einige Typen erklären:
- Flächen bestimmen
- Rotationsvolumen bestimmen
- Strecken anhand von Geschwindigkeiten bestimmen
- Mengen/Anzahlen bestimmen, die in einer gewissen Zeit vorkommen
- Mittelwerte bestimmen
1. Flächen sind das offensichtlichste was man mit der Integralrechnung berechnen kann. Hier muss man aber immer zwischen
orientierter und nicht
orientierter Fläche unterscheiden.
2. Rotationsvolumen ergeben sich durch die bekannte Formel:
\[ V = \pi \cdot \int_a^b f(x)^2 ~\mathrm dx \]
Aufpassen muss man hier, wenn Volumen von Schnittkurven bestimmen möchte.
3. In der Physik gibt es die Begriffe
Strecke,
Geschwindigkeit und
Beschleunigung. Der Zusammenhang dieser drei Begriffe lässt sich auch mittels der
Differential- und Integralrechnung erklären.
4. Hat man eine Geschwindigkeit, Rate, Quote oder ähnliches gegeben, so lassen sich auch hierüber Integrale bilden. Zum Beispiel kann man aus der Rate 10 Liter pro Minute etwas über die Menge an
Wasser aussagen, die nach einer gewissen Zeit vorhanden sind.
5. Etwas trickreicher sind zuletzt die
Mittelwerte. Hier benutzt man die folgende Formel:
\[ \text{Mittelwert von } f \text{ im Intervall } [a,b] := \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) ~\mathrm dx\]