In diesem Abschnitt möchte ich einige Beispiele geben wie man
näherungsweise Integrale berechnen kann. Nun fragen sich viele, wieso denn nur näherungsweise und nicht genau.
Um ein Integral genau zu bestimmen kann man zum Beispiel eine Stammfunktion berechnen. Geht dies nicht, so könnte man meinen, dass man das Integral dann nicht genau bestimmen kann. Dies ist leider aber auch
falsch, da man dies mittels Produktsummen (Ober- und Untersummen) eventuell hin bekommt. Genau um diese Produktsummen geht es in diesem Abschnitt. Schauen wir uns hierfür mal ein Beispiel einer Unterteilung
eine Fläche an.
Bei den Produktsumme haben wir versucht die Fläche mittels Rechtecken
auszufüllen. Dies lässt aber immer noch viel Platz der entweder nicht oder zu viel berechnet wird. Wie könnte man
dieses Verfahren also verbessern. Die erste Möglichkeit ist es die Rechtecke durch Trapeze zu ersetzen.
Wie man sieht ist diese Approximation (Näherung) deutlich besser, als die zuvor gewählte. Nun müssen wir nur noch die Fläche eines Trapez bestimmen, um an eine Näherungsformel
für Integrale zu kommen. Die Fläche eines Trapez berechnet man mit:
\[ A = \color{blue}{\text{ Abstand der Parallelen }} \cdot \color{red}{\frac{\text{ Länge beider Parallelen zusammen }}{2}} \]
In unserem Fall folgt demnach:
\[ A = \color{blue}{(b-a)} \cdot \color{red}{\frac{f(a) + f(b)}{2}} = \frac{b-a}{2} \left(f(a) + f(b)\right) \]
Unterteilen wir nun das Intervall $[a,b]$ in $n$ Abschnitte, so füllen wir die Fläche mit $n$ Trapezen aus. Mit $h=\frac{b-a}{n}$ folgt also:
\begin{align}
A&= \frac{h}{2} \cdot \left(f(a) + f(a+h)\right) + \frac{h}{2} \cdot \left(f(a+a) + f(a+2h)\right) + \ldots + \frac{h}{2} \cdot \left(f(a+(n-1)h) + f(b)\right) \\
&= \frac{h}{2} \cdot \left( f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + \ldots + 2f(a+(n-1)h) + f(b) \right)
\end{align}
Sind wir mit der Näherung nicht zufrieden, so gibt es zwei Möglichkeiten.
- Wir vergrößern unser $n$, sodass wir eine feinere Unterteilung haben.
- Wir benutzen ein anderes Verfahren, wie zum Beispiel die Simpsonregel (siehe Aufgaben).