Rotationskörper
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Rotationskörper
In diesem Abschnitt wollen wir ein Anwendungsgebiet der Integralrechnung behandeln. Bisher hatten Integrale immer nur die Bedeutung einer Stammfunktion zu finden, beziehungsweise einen Flächeninhalt zu berechnen.
Nun wollen wir von der Fläche einen Schritt hin zum Volumen gehen. Unser Ziel wird es also sein, Volumen mittels der Integralrechnung zu berechnen. Wir behandeln hier nur den einfachsten Fall
einer solchen Volumenberechnung und zwar der von Rotationskörpern. Hierfür schauen wir uns einfach mal ein Beispiel an.
Wir wollen die gelbe Fläche um die $x$-Achse rotieren lassen. Anschaulich ergibt sich in diesem Fall ein Kegel. Nun können wir uns fragen, wie man mittels eines Integrals ein Volumen bestimmt. Bei der Flächenberechnung war es: \[ A = \underbrace{\text{ Breite }}_{f(x)} \cdot \underbrace{\text{ Länge }}_{\Delta x}\] Und bei einem Volumen ist dies: \[V = \text{ Fläche } \cdot \underbrace{\text { Länge }}_{\Delta x}\] Dies sollte noch klar sein. Als Nächstes versuchen wir die Fläche beim Volumen ein wenig anders auszudrücken. Dafür schauen wir uns einen Kreis an:
Dieser Kreis hat die zugehörige Fläche: \[ \text{ Fläche }= \pi \cdot r^2 \] Schauen wir uns nun nochmal den Kegel im Querschnitt an:
Der rote Kreis soll nun eine Querschnittsfläche des Kegels sein. Für diese gilt dann \[ \text { Fläche } = \pi \cdot f(x)^2 \] Gehen wir nun, analog zur Flächenberechnung mittels Integration vor, so würden wir nur $f(x)$ durch $\pi \cdot f(x)^2$ ersetzen müssen, und erhalten so, das Rotationsvolumen.
Mit anderen Worten ist $f(x)$ bei der Berechnung von Rotationskörpern der Radius an der Stelle $(x|f(x))$ zur Drehachse, in unserem Fall, der $x$-Achse. Also folgt der Satz:
Nun habe ich vorhin geschrieben, dass die Drehachse, unsere $x$-Achse sein soll. Was passiert aber, wenn wir nicht um die $x$-Achse, sondern um die $y$-Achse eine Funktion rotieren lassen?
Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Erste Möglichkeit, wir haben keine Funktion gegeben, sondern nur eine Skizze mit Werten vorliegen. Dann machen wir hieraus eben eine Skizze, wo wir den Fall mit $x$-Achse als Drehachse haben.
Die zweite Möglichkeit ist der Allgemeine Fall. Hierfür ein kleines Beispiel:
Anschaulich ist die Sache ganz klar. Ich spiegele den Graphen und die Grenzen an $f(x)=x$ und erhalte so den Fall, den wir berechnen können. Was machen wir denn mathematisch bei einer solchen Spiegelung? Es ist nichts anderes als das Bestimmen einer Umkehrfunktion $\overline{f}(x)$.
Demnach folgt der zweite Satz:
Wir wollen die gelbe Fläche um die $x$-Achse rotieren lassen. Anschaulich ergibt sich in diesem Fall ein Kegel. Nun können wir uns fragen, wie man mittels eines Integrals ein Volumen bestimmt. Bei der Flächenberechnung war es: \[ A = \underbrace{\text{ Breite }}_{f(x)} \cdot \underbrace{\text{ Länge }}_{\Delta x}\] Und bei einem Volumen ist dies: \[V = \text{ Fläche } \cdot \underbrace{\text { Länge }}_{\Delta x}\] Dies sollte noch klar sein. Als Nächstes versuchen wir die Fläche beim Volumen ein wenig anders auszudrücken. Dafür schauen wir uns einen Kreis an:
Dieser Kreis hat die zugehörige Fläche: \[ \text{ Fläche }= \pi \cdot r^2 \] Schauen wir uns nun nochmal den Kegel im Querschnitt an:
Der rote Kreis soll nun eine Querschnittsfläche des Kegels sein. Für diese gilt dann \[ \text { Fläche } = \pi \cdot f(x)^2 \] Gehen wir nun, analog zur Flächenberechnung mittels Integration vor, so würden wir nur $f(x)$ durch $\pi \cdot f(x)^2$ ersetzen müssen, und erhalten so, das Rotationsvolumen.
Mit anderen Worten ist $f(x)$ bei der Berechnung von Rotationskörpern der Radius an der Stelle $(x|f(x))$ zur Drehachse, in unserem Fall, der $x$-Achse. Also folgt der Satz:
Rotationskörper (1)
Ist die Funktion $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ stetig, so entsteht bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse über $[a,b]$ ein Körper mit dem Volumen:
\[ V = \pi \int_a^b f(x)^2 ~\mathrm dx\]
Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Erste Möglichkeit, wir haben keine Funktion gegeben, sondern nur eine Skizze mit Werten vorliegen. Dann machen wir hieraus eben eine Skizze, wo wir den Fall mit $x$-Achse als Drehachse haben.
Die zweite Möglichkeit ist der Allgemeine Fall. Hierfür ein kleines Beispiel:
Anschaulich ist die Sache ganz klar. Ich spiegele den Graphen und die Grenzen an $f(x)=x$ und erhalte so den Fall, den wir berechnen können. Was machen wir denn mathematisch bei einer solchen Spiegelung? Es ist nichts anderes als das Bestimmen einer Umkehrfunktion $\overline{f}(x)$.
Demnach folgt der zweite Satz:
Rotationskörper (2)
Ist die Funktion $f$ stetig und existiert eine Umkehrfunktion $\overline{f}$, so entsteht bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $y$-Achse mit den beiden Grenzen $y=c$ und $y=d$ ein
Körper mit dem Volumen:
\[ V = \pi \int_c^d \overline{f}(x)^2 ~\mathrm dx\]