Das uneigentliche Integral

[kommentieren]

[Zu den Aufgaben]

In diesem Abschnitt geht es um uneigentliche Integrale. Wie der Name schon sagt, sind diese Integrale eigentlich keine. Bevor wir aber mit der Definition anfangen, wollen wir uns fragen, was wir bisher bei den Integralen immer ausgeschlossen haben.
Die erste Sache, die wir bisher immer gemieden haben, sind Unstetigkeitsstellen, wie zum Beispiel Polstellen. Hierzu betrachten wir einfach die Funktion \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\] Diese Funktion hat eine Polstelle bei $x=0$. Wenn wir nun \[ \int_0^1 f(x) ~\mathrm dx\] berechnen wollen, so haben wir das Problem, das für $x=0$ unsere Funktion nicht definiert ist. Außerdem geht der Funktionswert in diesem Falle gegen Unendlich, was die Flächenberechnung anschaulich nicht leichter macht.

Gehen wir auf Ober- bzw. Untersummen zurück, so hätten wir Rechtecke, wobei eine Seite unendlich lang ist. Demnach wäre auch der Flächeninhalt eines solchen Integrals anschaulich unendlich. Aber kann es doch irgendwie sein, dass man diesem uneigentlichen Integral eine Fläche zuordnen kann.
Die Antwort lautet: Vielleicht. Wir wenden einen Trick an, und zwar betrachten wir nicht das obige Integral, sondern das bestimmte Integral \[ \int_a^1 f(x) ~\mathrm dx \] mit $0 < a < 1$. Dieses Integral existiert auf jeden Fall und hat den Wert: \[ \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} ~\mathrm dx = \left[ 2 \sqrt{x}\right]_a^1 = 2 \sqrt{1} - 2 \sqrt{a} = 2 - 2 \sqrt{a}\] Was passiert nun, wenn wir unser $a$ immer näher gegen Null laufen lassen? Es könnten zwei Sachen geschehen. Einerseits könnten wir einen endlichen Wert erhalten, oder der Wert übersteigt alle Grenzen und geht gegen Unendlich. Versuchen wir es einfach. \[ \lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} ~\mathrm dx = \lim\limits_{a \to 0} 2- 2 \sqrt{a} = 2-2 \sqrt{0} = 2 \] Wir erhalten erfreulicherweise einen endlichen Wert. Dies überrascht einen vielleicht, da wir einer Fläche die bis ins Unendliche reicht, einen endlichen Flächeninhalt zuweisen können. Somit haben wir auch schon unseren ersten Fall eines uneigentlichen Integrals und eine Definition. Wie schon einige sicherlich bemerkt haben, steht bei der Definition eine (1). Das heißt, es gibt auch noch eine zweite Art von uneigentlichen Integralen. Wo könnte denn noch ein Problem entstehen, außer dass der Funktionswert an einer Stelle ins unendliche läuft? Betrachten wir einfach mal die Funktion \[ f(x) = \frac{1}{x^2}.\] In diesem Fall könnten wir wieder die Fläche von Null bis Eins berechnen. Auch wenn dies keine neue Art ist, wollen wir es trotzdem machen, da man so sieht, das es auch unendliche Flächen gibt. \begin{align} \lim\limits_{t \to 0} \int_t^1\frac{1}{x^2}~\mathrm dx &= \lim\limits_{t \to 0} \left[ \frac{-1}{x} \right]_0^1 \\ &=\lim\limits_{t \to 0} -1 - \frac{-1}{t} \\ &= \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} -1 \end{align} Da $\frac{1}{t}$ für $t \to 0$ gegen Unendlich geht, so macht es auch keinen Unterschied, wenn man es um Eins vermindert. Also folgt: \[ \lim\limits_{t \to 0} \int_t^1 \frac{1}{x^2} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} - 1 = \infty\] Da der Grenzwert nicht existiert, da er nicht endlich ist, handelt es sich bei diesem Beispiel um kein uneigentliches Integral. Was könnten wir denn noch berechnen? Da wir im ersten Fall schon Unendlich als Funktionswert hatten, könnten wir nun versuchen Unendlich als $x$-Wert, also als Intervallgrenzen, zu nehmen. Also versuchen wir uns an: \[ \lim\limits_{t \to \infty} \int_1^t \frac{1}{x^2} ~\mathrm dx\]

Auch in diesem Fall müssen wir den Limes benutzen, da wir nicht Unendlich als Zahl in die Funktion, oder deren Stammfunktion einsetzen können, sondern nur dagegen laufen können. \begin{align} \lim\limits_{t \to \infty} \int_1^t \frac{1}{x^2} ~\mathrm dx &= \lim\limits_{t \to \infty} \left[\frac{-1}{x}\right]_1^t \\ &= \lim\limits_{t \to \infty}\frac{-1}{t} - \frac{-1}{1} \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} 1 - \underbrace{\frac{1}{t}}_{=0} = 1 \end{align} Auch dieser ins Unendlich reichenden Fläche können wir einen endlichen Flächeninhalt zuweisen. Demnach folgt die zweite Definition.