Aufgaben - Rotationskörper 
 
3HTAM Mathe-Hilfe online

Rotationskörper


1) Rotationskörper die durch zwei Funktionen begrenzt werden!
Bei der Flächenberechnung haben wir auch Flächen zwischen zwei Funktionen berechnet. Analog hierzu wollen wir nun Volumen von Rotationskörpern berechnen, die von zwei Funktionen $f,g$ mit $f\geq g$ begrenzt werden. In diesem Fall entstehen häufig Hohlkörper. Wie sieht nun hierfür eine Formel aus? Wir haben zwei Vorschläge:
  1. $V = \pi \int_a^b f(x)^2 - g(x)^2 ~\mathrm dx$
  2. $V = \pi \int_a^b (f(x)-g(x))^2 ~\mathrm dx$
Diskutieren Sie, welche der beiden Formeln die richtige ist und was die andere Formel berechnet. Betrachten Sie hierzu die beiden Funktionen $g(x)=1$ und $f(x)=2$ über dem Intervall $[0,5]$.

2) Leiten Sie eine Formel her für das Volumen eines/r

$a)$ Kegels, mit Höhe $h$ und Radius $r$
$b)$ Hohlzylinders, mit Höhe $h$, Innenradius $r$ und Außenradius $R$
$c)$ Kugel, mit Radius $r$

3) Eine $y$-achsensymmetrische Funktion zweiten Grades geht durch die Punkte $(0|2)$ und $(2|14)$. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei der Rotation der Funktion über dem Intervall $[-2,3]$ bezüglich der $x$-Achse entsteht.

4) Es sei $f(x)= x \cdot \sqrt{x+2}$. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei der Rotation der Funktion über dem Intervall $[-2,2]$ bezüglich der $x$-Achse entsteht.

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