Aufgaben - Verschiedene Aufgaben zur Integralrechnung 
 
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Verschiedene Aufgaben zur Integralrechnung


1) Sei $f(x)$ eine Funktion die zum Beispiel die Produktion an Strom in $\frac{\text{Kilojoule}}{\text{Stunde}}$ beschreibt. Geben Sie eine Begründung an, wieso \[\int_a^b f(x) ~\mathrm dx = \text{ erzeugte Menge an Strom in Kilojoule in der Zeit von } a \text{ bis } b\] gilt.

2) Gesucht ist eine Formel $s(t)$ für die Strecke eines Körpers $K$ unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Es gilt folgender Zusammenhang: \[ s''(t) = v'(t) = a(t) =a \] mit der Geschwindigkeit $v(t)$ zum Zeitpunkt $t$ und der Beschleunigung $a$.
Wo befindet sich der Körper $K$ nach $t=7$ Sekunden, unter der der Bedingung, dass $a=5 \frac{\text{m}^2}{\text{s}}$, $v(0)=v_0= 2,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $s(0) = s_0 = 0$?

3) Sei $f(x)= - \frac{4}{3}~ x^3 + 6x^2-8x+8$ der Querschnitt eines Berges mit den blau gefärbten See.
3HTAM: Verschiedene Aufgaben zur Integralrechnung
Berechnen Sie die Fläche des Sees mit obigen Querschnitt.

4) In ein Schwimmbecken wird Wasser herein gefüllt. Dieser Wasserzulauf kann beschrieben werden durch:
  • $f_1(x)=- 0{,}75x^3+2{,}25x^2$ auf $[0,2]$
  • $f_2(x)=3$ auf $[2,4]$
mit $x$ in Minuten und $f(x)$ in $\frac{\text{Liter}}{\text{Minute}}$. Zum Zeitpunkt $t=4$ entsteht ein Riss in der Beckenwand, wodurch sich der Zulauf ändert und sich anschließend durch folgende Funktion beschreiben lässt: \[f_3(x)= (x-6)^2-1\] Ab $t=6$ bleibt der Zulauf dann wieder konstant.
$a)$ Berechnen Sie die maximale Füllmenge.
$b)$ Zu welchem Zeitpunkt ist das Becken wieder leer?

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