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2. Ableitung


In diesem Abschnitt wollen wir etwas über die zweite Ableitung lernen. Bevor wir zu diesen Eigenschaften kommen, wollen wir uns zwei Parabeln $\color{red}{f(x)=x^2}$ und $\color{blue}{g(x)=-x^2}$ anschauen.
3HTAM: Bild einer Normalparabel 3HTAM: Bild einer nach unten geöffneten Normalparabel
Diese beiden Funktionen sehen sehr ähnlich aus. Der einzige Unterschied ist, dass die blaue Funktion durch eine Spiegelung der roten Funktion an der $x$-Achse entstanden ist. Was ändert sich demnach alles an der Funktion?
  • Die Steigung der Funktion an einer Stelle ist genau spiegelverkehrt.
  • Die rote Funktion macht eine Linkskurve, wohingegen die blaue Funktion eine Rechtskurve macht.
  • Die Wertebereiche unterscheiden sich.
  • $\ldots$
Es gibt bestimmt noch mehr Punkte, die man hier nennen kann. Interessant ist der zweite Punkt. Dieser sagt aus, dass die Krümmung der beiden Funktionen genau spiegelverkehrt ist. Wie wir später sehen werden, kann man dies anhand der zweiten Ableitung gut erkennen. Hierfür differenzieren wir die beiden Funktionen $f$ und $g$ je zweimal. \begin{align} &f'(x) = 2x && \text{ und } && g'(x) = -2x \\ &f''(x) = 2 && \text{ und } && g''(x) = -2 \end{align} Die zweiten Ableitungen sind 2 und -2. Sie unterscheiden sich also nur vom Vorzeichen her. Nehmen wir nun Bezug auf die herausgefundenen Krümmungen von oben, so kann man sagen, dass bei einer positiven zweiten Ableitung die Funktion eine Linkskurve macht. Bei einer negativen zweiten Ableitung macht die Funktion hingegen eine Rechtskurve. Diesen Sachverhalt wollen wir nun in einem kleinen Satz festhalten.

Krümmungsverhalten und zweite Ableitung

Sei $f(x)$ eine reelle Funktion deren zweite Ableitung existiert und $x_0 \in \mathbb{R}$. Dann folgen die beiden Aussagen:
  • Ist $f''(x_0) > 0$ so macht die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ eine Rechtskurve.
  • Ist $f''(x_0) < 0$ so macht die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ eine Linksskurve.
Man kann sich nun fragen, was passiert bei $f''(x_0)=0$? In den meisten Fällen beschreibt diese Stelle die Wendestelle einer Funktion. Anders gesagt, die Funktion ändert ihr Krümmungsverhalten von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve, oder umgekehrt.
Diesen Sachverhalt wollte ich oben nicht mit aufführen, da es auch ausnahmen gibt, wie beispielsweise die Funktion $f(x)=x^4$.
3HTAM: Bild einer Funktion vierten Grades
Die Funktion ändert nicht ihr Krümmungsverhalten wie man leicht an der Skizze sehen kann. Ihre zweite Ableitung \[ f''(x) = 12 x^2 \] hat an der Stelle $x=0$ einen Nullpunkt. Es gilt dort $f''(0)=0$. Trotzdem ist hier kein Wendepunkt zu finden. Für mehr Details, wann genau ein Wendepunkt vorliegt oder nicht, können im Abschnitt Kurvendiskussionen nachgelesen werden.

Als Letztes wollen wir noch zwei Begriffe näher bringen, die oft mit der zweiten Ableitung einher gehen.

Konkav und Konvex

Sei $f(x)$ eine reelle Funktion deren zweite Ableitung existiert und $x_0 \in \mathbb{R}$. Dann folgen die beiden Definitionen:
  • Eine Funktion $f(x)$ für die $f''(x) \geq 0$ gilt, ist eine konvexe Funktion. Die Steigung dieser Funktion wächst kontinuierlich.
  • Eine Funktion $f(x)$ für die $f''(x) \leq 0$ gilt, ist eine konkave Funktion. Die Steigung dieser Funktion fällt kontinuierlich.
Als Eselsbrücke habe ich mir immer die $e$-Funktion gemerkt. Diese nennt man auch exp-Funktion und ähnelt dem Wort konvex. EXP ist KONVEX!
3HTAM: Bild einer Funktion Exponentialfunktion

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