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Produkt- und Quotientenregel


Genau wie wir für verkettete Funktionen eine Regel fürs Differenzieren hatten, gibt es auch eine nützliche Regel für Funktionen die aus einem Produkt bestehen. Zum Beispiel: \[ f(x) = x^2 \cdot (x+1) \quad \text{ und } \quad g(x) = x^2 \cdot \sin(x) \] Wollen wir diese beiden Funktionen differenzieren, so haben wir bei der ersten Funktion kein Problem. Hier könnten wir ja die Funktion ausmultiplizieren und würden $x^3+x^2$ erhalten. Diese Funktion abzuleiten ist ein Kinderspiel. Bei $g(x)$ können wir die beiden Faktoren nicht miteinander verrechnen. Um solche Funktionen zu differenzieren gibt es die Produktregel:

Produktregel

Ist $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ mit zwei differenzierbaren Funktionen $u$ und $v$, so ist $f$ selbst differenzierbar und es gilt: \[ f'(x)= u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \] Oder kurz geschrieben: \[ f' = u'v + uv' \]
Nun wollen wir erst einmal diese Regel bei unseren beiden Beispielen von oben ausprobieren. Die Ableitung von $f(x)$ wissen wir ja bereits. Da wir ausmultiplizieren können gilt: \[ f'(x)= 3x^2+2x \] Bekommen wir diese Ableitungsfunktion auch mittels der Produktregel? Wie schon bei der Kettenregel kann man auch hier mit den Teilfunktionen anfangen: \begin{align} &u(x) = x^2&&\color{red}{v(x) = x+1} \\ &\color{blue}{u'(x) = 2x} &&\color{green}{v'(x) = 1} \end{align} Für die Ableitungsfunktion folgt somit: \[ f'(x) = \color{blue}{ 2x } \cdot \color{red}{ (x+1) } + x^2 \cdot \color{green}{ 1 }= 2x^2+2x + x^2 = 3x^2 + 2x\] Also stimmen die beiden Ableitungen überein. Für $g'(x)$ gilt: \begin{align} &u(x) = x^2&&\color{red}{v(x) = \sin(x)} \\ &\color{blue}{u'(x) = 2x} &&\color{green}{v'(x) = \cos(x)} \end{align} Für die Ableitungsfunktion folgt somit: \[ f'(x) = \color{blue}{ 2x} \cdot \color{red}{ \sin(x) } + x^2 \cdot \color{green}{ \cos(x) }\]

Im letzten Abschnitt haben wir uns über das Differenzieren von Funktionen als Produkte beschäftigt. Nun fragen wir uns, ob es auch eine Regel für Quotienten gibt und wie sie aussieht. Dazu brauchen wir nur eine kleine Vorüberlegung. Haben wir einen Quotienten z.B. $\frac{u(x)}{v(x)}$, so kann man diesen auch als Produkt schreiben. Nämlich als $u(x)\cdot v(x)^{-1}$. Da wir ein Produkt ableiten können, können wir auch einen solchen Quotienten ableiten, hierbei müssen wir nur beachten, dass wir die Punkte raus nehmen, an denen der Nenner 0 ist. \[ (u(x)\cdot v(x)^{-1})' = u'(x) \cdot v(x)^{-1} + u(x) \cdot (v(x)^{-1})' \] Mit der Kettenregel folgt nun für $(v(x)^{-1})'$ : \[ (v(x)^{-1})' = \frac{-v'(x)}{v^2(x)} \] Setzen wir diesen Term ein, so erhalten wir: \begin{align} u(x)\cdot v(x)^{-1})' &= \frac{u'(x)}{v(x)} - \frac{u(x)\cdot v'(x) }{v^2(x)} &&|\text{ Hauptnenner bringen}\\ &= \frac{u'(x)\cdot v(x)}{v^2(x)} - \frac{u(x)\cdot v'(x) }{v^2(x)} &&\\ &= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} && \end{align} Der letzte Ausdruck ist die Quotientenregel:

Quotientenregel

Ist $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ mit zwei differenzierbaren Funktionen $u$ und $v$, so ist $f$ selbst differenzierbar und es gilt: \[ f'(x)= \frac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{v^2(x)} \] Oder kurz geschrieben: \[ f' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Wichtig ist dabei die Reihenfolge, da man sich sonst bei der Ableitung ein Minus einhandelt und somit das Vorzeichen nicht mehr stimmt.

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