Die
Sinus- und Cosinusfunktion sind nicht nur sehr ähnlich zu einander (Phasenverschiebung), sondern haben auch einen
Zusammenhang bei der Ableitung. Wenn man sich die beiden Funktionen ansieht, beobachtet man, dass wenn einer der Beiden einen Extrempunkt hat;
also mit anderen Worten die Steigung 0 ist; hat die andere Funktion einen Nulldurchgang. Nun wollen wir uns auf einen einzelnen Punkt $(x_0|\cos(x_0)$
konzentrieren. Beispielsweise den grün eingezeichneten Punkt $(2{,}5|\cos(2{,}5))$. Dieser Punkt liegt unterhalb der $x$-Achse. Schaut man sich nun
den die Sinusfunktion an dieser Stelle an, so bemerkt man, dass diese eine negative Steigung besitzt. Diese Gemeinsamkeit gilt für diese beiden
trigonometrischen Funktionen immer.
\begin{align}
\text{Gilt } \cos(x_0) \leq 0 \text{ , so folgt } \sin' (x_0) \leq 0. \\
\text{Gilt } \cos(x_0) \geq 0 \text{ , so folgt } \sin' (x_0) \geq 0.
\end{align}
Nicht nur das Vorzeichen stimmt überein, sondern auch die Funktionswerte. Man kann beweisen, dass $\sin'(x_0)= \cos (x_0)$ gilt.
Diesen Beweis lassen wir an dieser Stelle aber außen vor. Auch für die Steigung der Cosinusfunktion können wir ein ähnliches
Bild beobachten. Fällt die Cosinusfunktion, wie zum Beispiel beim grün eingezeichneten Punkt, so hat die Sinusfunktion dort einen
positiven Funktionswert. Es lassen sich die folgenden beiden Ableitungsregeln aufstellen:
Ableitung vom Sinus und Cosinus
Für die Ableitungsfunktionen der Sinus- und Cosinusfunktion gilt:
\begin{align}
\sin'(x) &= \cos(x) \\
\cos'(x) &=- \sin(x)
\end{align}
Allgemein kann man sich folgende Reihenfolge beim Ableiten merken:
Wir sehen, dass die Ableitungen zyklisch verlaufen, also immer im Kreis. Häufig hat man die beiden Funktionen nicht in der normalen
Form vorliegen, sondern zum Beispiel so:
\[ f(x) = \sin\left(x^2\right) \quad \text{oder} \quad g(x) = \cos(2x+4) \]
Hier müssen wir die Kettenregel anwenden. Also
innere mal
äußere Ableitung. Somit ergeben sich für unsere
beiden Beispielfunktionen die Ableitung:
\begin{align}
& f'(x)= \underbrace{2x}_{innere} \cdot \underbrace{\cos(x^2)}_{äußere} = 2x \cos\left(x^2\right) \\
& g'(x)= \underbrace{2}_{innere} \cdot \underbrace{(-\sin(2x+4))}_{äußere} = -2 \sin(2x+4)
\end{align}
In diesem Abschnitt haben wir bisher über die Ableitung der trigonometrischen Funktionen gesprochen. Nun wollen wir noch einmal kurz
alles Wissenswerte über die Funktionen darstellen. Ich hoffe diese Punkte sind aus der Mittelstufe noch einigermaßen geläufig,
da dies nur eine kleine Übersicht sein soll. (Hinweis: $k \in \mathbb{Z}$ für die Tabelle):
| $\mathbb{D}$ | $\mathbb{W}$ | Nullstellen | Def.-Lücken | Symmetrie | Periode |
$\sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ | $k \cdot \pi$ | keine | punktsym. | $2\pi$ |
$\cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ | $\frac{1+2k}{2} \cdot \pi$ | keine | achsensym. | $2\pi$ |
$\tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\frac{1+2k}{2}\pi\}$ | $\mathbb{W}$ | $k \cdot \pi$ | $\{\frac{1+2k}{2}\pi\}$ | punktsym. | $\pi$ |
An dieser Stelle möchte ich auch nochmal an die Definition des Tangens erinnern:
Tangens
Der Tangens an der Stelle $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1+2k}{2}\pi\}$ ist definiert als
\[ \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}. \]
Zuletzt gehen wir ein klein wenig auf die veränderten Sinus- und Cosinusfunktionen ein. Hierbei behandeln wir nur die
Sinusfunktion, da für die Cosinusfunktion dieselben Eigenschaften folgen.
Wertebereich: Den Wertebereich einer Sinusfunktion kann man mittels Vorfaktor verändern. So hat zum Beispiel die Funktion
$2 \sin (x)$ einen Wertebereich $\mathbb{W}$ von $-2$ bis 2.
Nullstellen: Haben wir zum Beispiel die Funktion $\sin(x^2)$ und wollen die Nullstellen bestimmen,
so suchen wir die $x$-Werte für die gilt $x^2 = k \cdot \pi$ gilt. Also in diesem Fall $\sqrt{k \pi}$.
Periode: Die Periode verändert sich auch mit dem Ausdruck im Inneren des Sinus. Zum Beispiel ist die Periodizität
von $\sin (cx-d)$ gerade $\frac{2 \pi}{\left|c\right|}$. Wir nehmen den Betrag, da die Periodizität eine positive Länge ist. Das $d$ bedeutet
nur eine (Phasen-)Verschiebung um $d$ Einheiten in $x$-Richtung.
Zuletzt ist noch folgende Identität von großer Bedeutung.
Sinus-Cosinus-Identität
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
x
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