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Kettenregel


Bisher haben wir nur einfache Funktionen betrachtet. Komplizierter wird es nun für verkettete Funktionen. Aber erstmal die Frage, was sind verkettete Funktionen? Dies wollen wir uns an zwei Beispielen $f,g$ klar machen. \[f(x)=\sqrt{x^2+7} \quad \text{ und } \quad g(x)=(x-4)^4\] Bei verketteten Funktionen gibt es immer eine innere und eine äußere Funktion. Formal beschreibt dies ~ $u\circ v: x \mapsto u(v(x))$. Schauen wir uns nun $f(x)$ an. Da die Wurzelfunktion außen liegt, handelt es sich um die äußere Funktion $u(x)$. Der Ausdruck unterhalb der Wurzel liegt demnach im Inneren und ist unser $v(x)$. \[ u(x)= \sqrt{x} \quad \text{ und } \quad v(x)=x^2+7 \] Wichtig ist, dass diese Zerlegung nicht unbedingt eindeutig sein muss. Dies sehen wir zum Beispiel bei der Funktion $g(x)$. Hier können wir die beiden Zerlegungen \begin{align} &u(x)=x^4 \quad \text{ und } \quad v(x)=x-4 \qquad \text{ beziehungsweise } \\ &\tilde{u}(x)=x^2 \quad \text{ und } \quad \tilde{v}(x)=(x-4)^2 \end{align} angeben.

Als Nächstes wollen wir uns um das Differenzieren von verketteten Funktionen kümmern. Auch hier gibt es eine sehr nützliche Regel, um schnell und einfach die Ableitungsfunktion zu bestimmen.

Kettenregel

Ist $f=u \circ v$ eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen $u$ und $v$, so ist auch $f$ differenzierbar mit: \begin{align} f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{align} In Worten: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Möchte man nun die Ableitungsfunktion unserer beiden Beispiele bestimmen, so ist es oft ratsam die einzelnen Teilfunktionen erst einmal separat aufzuschreiben und danach zusammen zu setzen. Für unser $f(x)$ gilt: \begin{align} &u(x) = \sqrt{x}&&\color{red}{v(x) = x^2+7} \\ &\color{blue}{u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}} &&\color{green}{v'(x) = 2x} \end{align} Für die Ableitungsfunktion folgt somit: \[ f'(x) = \color{blue}{\frac{1}{2\sqrt{\color{red}{x^2+7}}}} \cdot \color{green}{2x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+7}}\] Für $g(x)$ erhalten wir: \begin{align} &u(x) = x^4&&\color{red}{v(x) = x-4} \\ &\color{blue}{u'(x) = 4\cdot x^3} &&\color{green}{v'(x) = 1} \end{align} Für die Ableitungsfunktion folgt somit: \[ g'(x) = \color{blue}{4\cdot\left(\color{red}{x^2+7}\right)^3} \cdot \color{green}{1} = 4\left(x^2+7\right)^3\] Wichtig: Beachte, dass bei der äußeren Ableitung das Innere, also die Variable gleich bleibt und sich nicht verändert. Häufig ist es auch ratsam erst die Kettenregel zu benutzen bevor man den Term vereinfacht; beispielsweise, vorm Ausmultiplizieren eines größeren Terms $f(x)=(x+1)^{10}$.

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