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Ableitungsfunktion


Um die Steigung einer Funktion in einem Punkt $x_0$ zu bestimmen, ist es aufwendig immer den Weg über den Differentialquotienten zu gehen.
Wir nehmen als Beispiel die Funktion $f(x)=x^2$. Um die Steigung von $f(x)$ an einer allgemeinen Stelle $x_0$ zu ermitteln starten wir mit dem Differentialquotienten. \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2x_0h + h^2 - x_0^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{2x_0h+h^2}{h}\\ &= \lim\limits_{h \to 0} 2x_0+h = 2x_0 \end{align} An der Stelle $x_0$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ demnach $2x_0$. Wir haben eine Funktion $f'(x_0)=2x_0$ gefunden, die die Steigung an der Stelle $x_0$ angibt. Eine solche Funktion nennen wir die Ableitungsfunktion von $f(x)$ oder kurz "Ableitung von $f$".

Nun wollen wir einige Regeln zum Aufstellen der Ableitungsfunktion durchsprechen. Betrachten wir hierfür nochmal die Funktion $f(x)= x^{\color{red}2}$. Wie wir gesehen haben, lautet die Ableitung $f'(x)= {\color{red}2}\cdot x^1$. Was fällt uns auf?
Die ${\color{red}2}$ ist in der Ableitung nun ein Vorfaktor und der Exponent hat sich um Eins verringert.

Diese Beobachtung kann man immer anwenden. Ein Beweis (unter gewissen Umständen) wird in Aufgabe 1c gezeigt.

Haben wir beispielsweise die Funktion $f(x)=x^3$, so müssen wir nur den Exponenten nach vorn holen und dann den Exponenten um Eins verringern, also: \[ f'(x)= 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2 \] Eine Funktion sieht aber nicht immer so einfach aus, wie unsere beiden Beispiele. Was passiert bei $f(x) = 2 \cdot x$? Eine erste Vermutung könnte sein, dass der Vorfaktor einfach stehen bleibt: \[ f'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2 \cdot x^0 = 2 \] Diese Vermutung stimmt auch, wie man leicht mittels dem Differentialquotienten zeigen kann (siehe Aufgabe 1a).
Eine letzte Erweiterung, die wir besprechen wollen, ist $f(x) = 2x + x^2$. Wir kennen die Ableitung von $x$ und von $x^2$. Naheliegend wäre es nun, dass die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist: \[ f'(x) = \text{Ableitung von } 2x + \text{Ableitung von } x^2 = 2 + 2x \] Diese Regel wird in Aufgabe 1b bewiesen. Als Nächstes wollen wir die besprochenen Regeln mathematisch zusammenfassen.

Ableitungsregeln

Es sei $f(x)$ eine beliebige Funktion. Existieren die Ableitungen $u'(x), v'(x)$ und $g'(x)$ dann gelten die folgenden Regeln: \begin{align} &\text{Für } f(x)=x^k ~~ \text{ mit } k \in \mathbb{R} \text{ gilt:} &&f'(x)=k \cdot x^{k-1} &&\text{Potenzregel} \\ &\text{Für } f(x)=u(x)+v(x) ~~ \text{ gilt:} &&f'(x)=u'(x)+v'(x) &&\text{Summenregel} \\ &\text{Für } f(x)=c\cdot g(x) ~~ \text{ mit } c \in \mathbb{R} \text{ gilt:} &&f'(x)=c \cdot g'(x) &&\text{Faktorregel} \end{align}
Als Nächstes wollen wir uns die einfachsten Funktionen anschauen; konstante Funktionen.
3HTAM: Ableitungsfunktion Bild 1 - Bild einer konstanten Funktion
Die obige Funktion lautet $f(x)=2$. Anschaulich hat die Funktion die Steigung Null, da sie parallel zur $x$-Achse verläuft. Dies gilt offensichtlich für alle konstanten Funktionen, wie folgender Satz festhält:

Ableitungsregeln - Teil 2

Es sei $f(x) = c$ mit $c \in \mathbb{R}$ eine konstante Funktion. Dann gilt für die Ableitung: \begin{align} f'(x) = 0 \end{align}

Beweis zur Ableitung konstanter Funktionen

Sei $c \in \mathbb{R}$ eine beliebige konstante Zahl. Wir wollen nun die Steigung von $f(x)$ bestimmen. Hierzu sehen wir uns den zugehörigen Differentialquotienten an: \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{c-c}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} \end{align} Letzter Ausdruck ist für jedes beliebige $h \ne 0$ gleich Null. Demnach können wir zuerst $\frac{0}{h}$ durch 0 ersetzen und erst später den Limes $h$ gegen Null laufen lassen. \begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} &= \ldots = \lim\limits_{h \to 0} 0 =0 \end{align} Somit haben wir bewiesen, dass die Steigung einer konstanten Funktion immer Null ist.

Abschluss

Zuletzt wollen wir uns den Graphen einer Funktion $f(x)$ und ihrer Ableitung $f'(x)$ ansehen.
3HTAM: Ableitungsfunktion Bild 2 - Bild einer Funktion f 3HTAM: Ableitungsfunktion Bild 3 - Bild der Ableitung von f

Schauen wir uns die Funktion $f(x)$ (linkes Bild) an. Auf den grünen Teilstücken erkannt man, dass die Funktion wachsend ist. Für die Steigung heißt dies, dass diese größer gleich Null sein muss. Diesen Sachverhalt erkennt man auch gut an der Funktion $f'(x)$ (rechtes Bild), die auf den grünen Teilstücken positive Werte annimmt.

Auf dem roten Teilstück ist $f(x)$ fallend, hat demnach eine negative Steigung. $f'(x)$ ist hier unterhalb der $x$-Achse.

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