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PQ-Formel und quadratische Ergänzung


Wie bestimmt man die Nullstellen ein Funktion zweiten Grades? Die Standardverfahren sind die PQ-Formel und die quadratische Ergänzung. Mit beiden Verfahren lassen sich einfach und schnell Aussagen über die Nullstellen einer Funktion treffen.

Als Beispiel wollen wir die Nullstellen von der Funktion $f(x)= 2x^2-10x+12$ bestimmen.
Beginnen wollen wir mit der PQ-Formel.

PQ-Formel

Eine Funktion $f(x) = x^2+px+q$ mit $p$ und $q \in \mathbb{R}$ hat die Nullstellen: \[x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \]
Da unsere Beispielfunktion noch nicht die gesuchte Form hat, müssen wir den Vorfaktor von $x^2$ auf eins bringen. Wir dividieren demnach durch 2 und setzen dann die Funktion gleich Null: \[ 0 = x^2\color{blue}{-5}x\color{red}{+6} \qquad \Rightarrow \qquad p = \color{blue}{-5} \quad \text{ und } \quad q = \color{red}{+6} \] Somit folgt mit Hilfe der PQ-Formel: \begin{align} x_{1,2} &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2-6} \\ &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{2{,}5^2-6} \\ &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{6{,}25^2-6} \\ &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}\\ x_1 &= 2 \quad x_2 = 3 \end{align} Bei der PQ-Formel sind 2 Punkte wichtig. Erstens muss man darauf achten, dass unsere Funktion die richtige Form hat; also das vor unserem $x^2$ eine 1 steht. Zweitens sagt uns die PQ-Formel, ob wir 0,1 oder 2 Nullstellen haben. Dies hängt vom Term unterhalb der Wurzel ab:
  • $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q > 0$ so haben wir zwei unterschiedliche Nullstellen.
  • $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 0$ so haben wir eine doppelte Nullstelle bei $x = \frac{-p}{2}$.
  • $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q < 0$ so haben wir keine Nullstelle.
Nun wollen wir die Nullstellen auch mittels quadratischer Ergänzung herausfinden. Auch hier fangen wir genauso wie eben an: \begin{align} 2x^2-10x+12&=0 &&|:2\\ x^2-5x+6&=0 &&|\pm \left(\frac{5}{2}\right)^2\\ (x^2-5x + 6{,}25)-6{,}25+6 &=0 &&|\text{2. binomische Formel}\\ (x-2{,}5)^2 &= 0{,}25 &&|\sqrt{\quad} \\ \left|x-2{,}5\right| &= 0{,}5 &&|\text{Betrag auflösen} \\ x-2{,}5 &= \pm 0{,}5 &&\\ x_1 &= 2 \quad \text{ und } \quad x_2 = 3 && \end{align} Auch hier können wir drei Fälle unterscheiden. Da wir in einem Schritt die Wurzel ziehen, können wir wie bei der PQ-Formel schon, die drei Fälle betrachten.
  • Ist das Argument unterhalb der Wurzel größer als Null, so haben wir zwei unterschiedliche Nullstellen.
  • Ist das Argument unterhalb der Wurzel gleich als Null, so haben wir eine doppelte Nullstelle.
  • Ist das Argument unterhalb der Wurzel kleiner als Null, so haben wir keine Nullstelle.

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