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Satz von Vieta


Neben der PQ-Formel oder der quadratischen Ergänzung hat man bei quadratischen Gleichungen auch noch eine weitere Möglichkeit um Nullstellen zu finden. Man kann die Nullstellen mittels geschickten Ratens bestimmen. Im Folgenden wollen wir kl&aum;ren warum es geht und wie die Nullstellen bestimmt.

Haben wir zwei Nullstellen $p$ und $q$ so lässt sich deren Funktion $f(x)$ schreiben als \[ f(x) = a \cdot (x-p) \cdot (x-q) \] mit $a \in \mathbb{R}$. Wir sehen, dass $f(x)$ unsere beiden Nullstellen besitzt. Das Problem ist, dass eine Funktion nicht immer in einer faktorisierten Form vorliegt. Was passiert nun, wenn wir unsere obige Funktion $f(x)$ ausmultiplizieren? \[ f(x) = a \cdot (x^2 -x \cdot q -x \cdot p + p \cdot q) \] Da wir die Nullstellen von $f(x)$ bestimmen wollen, können wir immer durch den Koeffizienten vor dem $x^2$ teilen. In unserem Fall erhalten wir den Ausdruck \[0= x^2 -x(p+q) + p\cdot q \] mit den zwei Nullstellen $p$ und $q$. Das Prinzip beim Satz von Vieta ist es, sich das absolute Glied anzusehen, also den Summanden ohne $x$, und dann deren Teiler addiert. Als Beispiel wollen wir uns die zwei Funktionen $g$ und $h$ ansehen. \[ g(x) = x^2 -5x + 4 \qquad h(x) = 2x^2 +4x -16 \] Das absolute Glied von $g$ hat die Teiler $\pm 1$ , $\pm 2$ und $\pm 4$. Wir schreiben nun die jeweiligen Paare auf: \begin{align} &\color{green}{(1|4)} && \color{green}{ 1 \cdot 4 = 4} && \color{green}{1 + 4 = 5} \\ &(-1|-4) && -1 \cdot (-4) = 4 && -1 + (-4) = -5 \\ &(2|2) && 2 \cdot 2 = 4 && 2 + 2 = 4 \\ &(-2|-2) && -2 \cdot (-2) = 4 && -2 + (-2) = -4 \end{align} Das erste Paar $(1|4)$ ist schon die Lösung.

Bei $h(x)$ müssen wir zuerst durch 2 dividieren. Also $0=x^2+2x-8$. Nun müssen wir die Teiler von $-8$ uns ansehen und finden heraus das \begin{align} &\color{green}{(2|-4)} &&\color{green}{ 2 \cdot (-4) = -8} &&\color{green}{ 2 + (-4) = -2} \end{align} gilt. Also sind 2 und $-4$ unsere gesuchten Nullstellen.

Satz von Vieta

Haben wir eine Funktion $f(x)$ der Form \[ f(x) = x^2 + ax +b \] so gehen wir wie folgt vor.
Wir schreiben zuerst alle Paare von Teilern von "$+b$" auf. Ergibt nun die Summe eines Paares "$-a$", so sind diese beiden Zeilen die Nullstellen von $f(x)$.
Hinweis: Auf diesem Weg muss man keinen Erfolg haben, da die Nullstellen nicht unbedingt ganzzahlig sein müssen.

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