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Polynomdivision


Die Polynomdivision ist ein sehr nützliches Hilfsmittel um Polynome, wie zum Beispiel $x^3+3x^2+3x+1$ durch andere Polynome zu teilen. Im ersten Moment hat dich nichts mit der Nullstellenbestimmung von Funktionen zu tun. Da die PQ-Formel und andere Verfahren bei Funktionen dritten, vierten oder höheren Grades nichts mehr bringen, müssen wir die Polynome faktorisieren. Dies machen wir zum Beispiel mit der Polynomdivision. Bei einer normalen Division kann man aus $\frac{a}{b}= c ~ \Rightarrow ~ b \cdot c = a$ folgern. Auf Funktionen übertragen kann man aus $\frac{x^3+3x^2+3x+1}{g(x)} = h(x)$ unsere faktorisierte Form $f(x)=x^3+3x^2+3x+1 = h(x) \cdot g(x)$ folgern. Aber wie bestimmt man die Funktion $g(x)$. Die geschickteste Möglichkeit ist es, eine Nullstelle von $f(x)$ zu raten. Diese nennen wir dann $d$. Dann folgt sofort unser Polynom $g(x) = (x-d)$.

Aber wie raten wir am Besten eine Nullstelle einer Funktion mit Grad größer als 2? Ein guter Tipp ist folgender Satz:

Satz über ganzzahlige Nullstellen

Sei $f$ eine ganzrationale Funktion, also $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$, mit $n$ ganzzahligen Nullstellen $d_i \in \mathbb{R}$, so sind alle $d_i$ ein Teiler von $\frac{a_0}{a_n}$.
In unserem Fall müsste $d$ ein Teiler von $\frac{1}{1} = 1$ sein. Also $d = \pm 1$. Nun müssen wir nur noch einsetzen: \begin{align} f(1) &= 1 + 3 +3 +1 = 8 \\ f(-1) &= -1 + 3 -3 +1 = 0 \end{align} Also ist $d = -1$. Nun brauchen wir unser Polynom $g(x) = (x-d) = (x-(-1)) = x+1$. Da wir nun unseren Divisor kennen kommen wir zur eigentlichen Arbeit, der Polynomdivision. Hierzu schreiben wir in die erste Zeile unsere beiden Polynome hin: \[ (x^3+3x^2+3x+1) : (x+1) = ?\] Genau wie bei der schriftlichen Division wollen wir wissen, wie oft passt $(x+1)$ in $x^3+3x^2+3x+1$ rein. Hierzu muss man noch nicht mal viel überlegen oder kompliziert vorgehen. Das einzige was man machen muss, ist bei beiden Funktionen den Summand mit dem höchsten Exponent nehmen, und durcheinander dividieren. In unserem Falle nehmen wir uns dass $x^3$ von $f$ und das $x$ von $g$. Nun müssen wir teilen: Also $\frac{x^3}{x} = \color{orange}{x^2}$. Dies ist auch schon die Lösung unserer Frage, wie oft $g$ in $f$ rein passt. Das Ergebnis $x^2$ schreiben wir anstelle des Fragezeichens hin. Nun multiplizieren wir $x^2$ mit dem Polynom $g$ und erhalten $\color{blue}{x^3+x^2}$. Dies müssen wir genau wie bei der schriftlichen Division unter unser $f$ schreiben und dann einfach subtrahieren. \begin{array}{l} \mspace{15mu}(x^3+3x^2+3x+1):(x+1)=\color{orange}{x^2} \\ -\underline{(\color{blue}{x^3\mspace{9mu}+x^2})}\\ \mspace{22mu}\mspace{41mu}2x^2\\ \end{array} Als nächstes ziehen wir $\color{red}{3x}$ von oben runter und betrachten nun $2x^2+3x$ und $x+1$. \begin{array}{l} \mspace{15mu}(x^3+3x^2+3x+1):(x+1)=x^2 \\ -\underline{(x^3\mspace{9mu}+x^2)}\\ \mspace{22mu}\mspace{41mu}2x^2+\color{red}{3x}\\ \end{array} Wir nehmen also wieder die beiden höchsten Exponenten und dividieren. In unserem Fall$\frac{2x^2}{x}=2x$. Wenn wir immer so weiter machen, erhalten wir am Ende: \begin{array}{l} \mspace{15mu}(x^3+3x^2+3x+1):(x+1)=x^2+2x+1 \\ -\underline{(x^3\mspace{9mu}+x^2)}\\ \mspace{22mu}\mspace{41mu}2x^2+3x\\ \mspace{41mu}-\underline{(2x^2+2x)}\\ \mspace{22mu}\mspace{100mu}x+1\\ \mspace{100mu}-\underline{(x+1)}\\ \mspace{11mu}\mspace{143mu}0\\ \end{array} Nach der Polynomdivision haben wir unser Polynom $h$ gefunden. Nämlich $h(x) = x^2+2x+1$. Also können wir nun $f$ schreiben als: \[ f(x) = g(x) \cdot h(x) = (x+1) \cdot (x^2+2x+1) \] Wenn wir die Nullstellen von $f$ weiter untersuchen wollen, so müssen wir nur noch unsere Funktion $h(x)$ auf Nullstellen untersuchen. \[ h(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = x^2+2x+1 = (x+1)^2 \] Letzte Umformung ist die erste binomische Formel. Somit erhalten wir die dreifache Nullstelle $x=-1$.

Bemerkung: Die Polynomdivision sollte keinen Restterm haben, wenn wir durch $(x-d)$ dividieren. Kommt ein Restterm vor, so ist entweder $d$ keine Nullstelle der Ausgangsfunktion oder man hat sich bei der Polynomdivision verrechnet.

Hier nochmal das Vorgehen in der Übersicht:
  1. Nullstelle $d$ von unserem Ausgangspolynom suchen (Teiler von $\frac{a_0}{a_n}$ betrachten). Zur Not kann man eine Nullstelle auch grafisch per Taschenrechner bestimmen und anschließend per Hand zeigen, dass es sich um eine Nullstelle handelt.
  2. Bestimmen von $g(x)=(x-d)$.
  3. Bestimmen von $h(x)$ mittels Polynomdivision.
  4. Man nehme den jeweiligen Summanden von $f$ und $g$ mit dem höchsten Exponenten und teilt dann den von $f$ durch den von $g$. Somit erhalten wir den ersten Summanden von $h$. Wir nennen Ihn $h_1$.
  5. Dann schreibe $h_1 \cdot g$ unter unser $f$.
  6. Nun $f-(h_1\cdot g) = f_2$.
  7. Wiederhole Punkt 4 bis 7 mit $f_2$ statt unserer Ausgangsfunktion $f$.
Hinweis: Die Polynomdivision hat nicht nur Anwendung im Bereich der Nullstellenberechnung von Funktionen. Ein anderer Anwendungsbereich für dieses Verfahren bietet zum Beispiel, das Grenzverhalten gebrochenrationaler Funktionen.

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