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Horner-Schema


Das Horner-Schema ist ein Verfahren, mit dem man schnell und ohne kompliziertes Rechnen den Funktionswert an einer Stelle $x_0$ ablesen kann. Als Beispielfunktion nehmen wir die Funktion \[f(x) = x^3+3x^2+3x+1. \] Wollen wir nun den Funktionswert an der Stelle $x_0=-5$ herausfinden, so rechnen wir für gewöhnlich: \begin{align} f(-5) &= (-5)^3 + 3 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) + 1 \\ &= -125 + 75 + -15 + 1 \\ &= -64 \end{align} Das erste Problem ist schon die Potenz aus zurechnen ($5^3=125$), was nicht immer so einfach ist, wie in diesem Falle. Nun schreiben wir unsere Funktion $f$ um \begin{align} f(x) &= 1 + 3x + 3x^2 + x^3 \\ &= 1 + x (3 + 3x + x^2) \\ &= 1+ x ( 3 + x ( 3+x)). \end{align} Setzen wir jetzt -5 ein so erhalten wir \begin{align} f(-5) &= 1 + (-5) \cdot (3 + (-5) \cdot (3-5)) \\ &= 1 + (-5) \cdot ( 3 +10 ) \\ &= 1 -65 = -64. \end{align} Nun führen wir ein Schema ein, wie wir die letzte Rechnung besser und vor allem kürzer aufschreiben können. Dazu betrachten wir nochmal unsere Funktion $f$. Wir schreibe in die erste Zeile unsere Koeffizienten, also die Zahlen vor $x^3, x^2, x,x^0$. Wenn ein Exponent nicht vorkommt, schreiben wir eine 0 hin. Also sieht unsere erste Zeile wie folgt aus:
1 3 3 1
In die zweite Zeile ganz links schreiben wir immer den Multiplikator hin. In diesem Fall die $-5$. Daneben kommt immer eine Null. Dann addieren wir die erste und zweite Zeile und erhalten:
1 3 3 1
-5 0 $a$ $c$ $e$
1 $b$ $d$ $f$
Die Frage ist nun, wie kommen wir auf die Werte $a,c,e$ ? Dies können wir an der Beispielrechnung von oben erkennen. Wir müssen mit dem Funktionswert multiplizieren. Also $a = 1 \cdot x_0 = -5$.
1 3 3 1
-5 0 -5 $c$ $e$
1 -2 $d$ $f$
$b$ erhalten wir wieder mittels Addition. Das $c$ bekommen wir wieder mit dem Funktionswert $x_0$, also $c = -2 \cdot (-5) =10$. Wir müssen also immer den Wert von unten nehmen, ihn mit der Stelle $x_0$ multiplizieren und das Ergebnis schräg oben rechts in die zweite Zeile schreiben. Somit erhalten wir:
1 3 3 1
-5 0 -5 10 -65
1 -2 13 -64
Unten rechts haben wir nun unseren Funktionswert $f(x_0)$ stehen. Die Frage die man sich hier nun stellen kann, ist, wieso dieses Schema so interessant ist. Eine wichtige Eigenschaft tritt beim Untersuchen von Nullstellen auf. Wie wir schon wissen ist $x=-1$ eine Nullstelle. Dies wollen wir mittels des Horner-Schemas nochmal schnell überprüfen.
1 3 3 1
-1 0 -1 -2 -1
1 2 1 0
Wenn wir nun die ersten drei Zahlen in der untersten Zeile betrachten, so sind diese die Koeffizienten der Lösung von der Polynomdivision $(x^3+3x^2+x+1) : (x+1)$. \begin{array}{l} \mspace{15mu}(x^3+3x^2+3x+1):(x+1)=x^2+2x+1 \\ -\underline{(x^3\mspace{9mu}+x^2)}\\ \mspace{22mu}\mspace{41mu}2x^2+3x\\ \mspace{41mu}-\underline{(2x^2+2x)}\\ \mspace{22mu}\mspace{100mu}x+1\\ \mspace{100mu}-\underline{(x+1)}\\ \mspace{11mu}\mspace{143mu}0\\ \end{array} Die letzte Zahl in der untersten Zeile des Horner-Schemas ist damit der Rest der Polynomdivision. Somit haben wir ein schnelles Verfahren kennen gelernt, für eine Polynomdivision durch einen lineares Polynom. Nun nochmal eine kleine Zusammenfassung, wie man mittels des Horner-Schemas eine Polynomdivision durchführt.

Horner-Schema

Es seien $f$ und $g$ zwei ganzrationale Funktionen, mit $g(x)=x-x_0$. Wollen wir nun die Funktion $f$ durch die Funktion $g$ dividieren, so gehen wir wie folgt vor:
  1. Wir schreiben, die Koeffizienten von $f$ in die erste Zeile. Beginnend beim Summand mit dem größten Exponenten. Falsch ein Exponent nicht vorkommt, so schreiben wir eine 0 hin.
  2. Unter dem ersten Eintrag schreiben wir eine 0 hin.
  3. Wir addieren die ersten beiden Zeilen und erhalten so die dritte.
  4. Nun müssen wir das Ergebnis aus der dritten Zeile mit $x_0$ multiplizieren und schräg oben rechts in die zweite Zeile schreiben.
  5. Nun wiederholen wir die Punkte 3 und 4.
  6. Die letzte Zahl in der dritten Zeile gibt den Rest der Division an. Haben wir also eine Nullstelle, so ist der Rest 0.
Was machen wir aber, wenn $g$ nicht in der oben genannten Form ist? Zum Beispiel $g(x)=ax-b$. Wir können $g$ aber umschreiben zu $g(x)=a(x-\frac{b}{a})$. Dividieren wir nun durch $g$ so können wir zuerst durch $(x-\frac{b}{a})$ mittels Horner-Schemas teilen und anschließend durch $a$.
Ist $g$ eine Funktion zweiten Grades, so ist die Polynomdivision, wie zuvor die bessere Möglichkeit.

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