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Substitution


Ein weiteres Verfahren um Nullstellen zu ermitteln ist die Substitution. Hierfür sehen wir uns am Besten eine ganzrationale Funktion an, die wir auf Nullstellen untersuchen wollen. \[ f(x) = x^4 -2x^2-3 \] Hier hilft uns eine Polynomdivision nicht viel weiter, da es keine ganzrationalen Nullstellen gibt. Wir der Name Substitution schon sagt, müssen wir etwas substituieren (= ersetzen). Ersetzen wir zum Beispiel $x^2$ durch eine andere Variabel $z$ so erhalten wir nach Nullsetzen der Funktion \begin{align} x^4 - 2x^2-3 &= \left(x^2\right)^2 - 2 \cdot \left( x^2 \right) -3 \\ &= z^2-2z-3 = 0. \end{align} Somit haben wir eine Funktion zweiten Grades, welche wir wie gewohnt lösen können. Als Nullstellen erhalten wir: \begin{align} 0 &= z^2-2z-3 &&|p=-2 \quad q=-3 \\ z_{1,2} &= \frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 +3} && \\ z_{1,2} &= 1 \pm \sqrt{4} && \\ z_{1,2} &= 1 \pm 2 && \\ z_1 &= -1 \qquad z_2 =3 && \end{align} Da unsere Ausgangsfunktion von $x$ abhängig war, wollen wir auch die Nullstellen in Abhängigkeit von $x$ angeben. Also müssen wir anschließend noch Rückersetzen. In unserem Falle heißt das, dass wir die Wurzel ziehen müssen. \begin{align} x_{1,2} &= \pm \sqrt{2} \\ x_{3,4} &= \pm \sqrt{-2} = \text{ nicht definiert } \end{align} Somit haben wir die beiden Nullstellen $\pm \sqrt{2}$ gefunden. Weitere Nullstellen haben wir nicht, da man keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen kann.

Nun noch einen kleinen Überblick:

Substitution

Gegeben sei eine Funktion $f(x)$. Kommt man mit den üblichen Mitteln nicht an die Nullstellen, so kann folgendes Verfahren helfen.
  1. Ersetze $x$ durch eine andere Variable $z = \ldots$ , sodass eine Funktion 2 Grades entsteht, oder eine Form die wir lösen können.
  2. Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit von $z$.
  3. Resubstituiere, um die Nullstellen in Abhängigkeit von $x$ zu haben.
Bemerkung: Wenn man nicht weiß wie man resubstituieren soll, betrachtet man einfach die Substitution $z = \ldots$. Diese Gleichung löst man dann nach $x$ auf und schon ist man fertig.

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