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Linearfaktorzerlegung


Oft in der Schule gefragt ist auch die Linearfaktorzerlegung. Wie der Name schon sagt, wollen wir eine gegebene Funktion zerlegen und zwar in lineare Teile in faktorisierter Form. Gut, dies könnte nun auch etwas zu mathematisch klingen. Einfach gesagt, wollen wir eine Funktion, z.B. $f(x)=x^3-x^2$ schreiben als $x \cdot (x-1) \cdot (x+1)$. Alle drei Faktoren, also $x,(x-1)$ und $(x+1)$ sind vom Grad 1, also linear. Unsere Frage ist nun, wie können wir die linearen Faktoren am schnellsten bestimmen. Haben wir zum Beispiel den linearer Faktor $(x-2)$, so hat unsere Funktion bei $x=2$ auch eine Nullstelle. Dies sollte einem klar sein, da der lineare Faktor in diesem Fall Null ist und ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Verallgemeinert man diese Erkenntnis, so ergibt sich:

Linearfaktorzerlegung

Eine Funktion $f(x)$ $k$-ten Grades ist genau dann linearfaktorzerlegbar, wenn $f$ genau $n$ Nullstellen $n_i$ hat (diese müssen nicht verschieden sein!). Die Linearfaktorzerlegung, für ein $a \in \mathbb{R}$, sieht dann wie folgt aus: \[ f(x)= a\cdot (x-n_1) \cdot (x-n_2) \cdots (x-n_k) \]
Haben wir also alle Nullstellen gegeben, so können wir leicht unsere Funktion zerlegen. Was kann man aber bei größeren Funktionen machen, also 5 Grades zum Beispiel. Dort kann man natürlich die Nullstellen raten. Hat man 5 gefunden, so hat man Glück. Nun haben wir aber zwei Probleme:
  1. Unsere Funktion hat keine 5 Nullstellen.
  2. Unsere Funktion hat eine doppelte Nullstelle. Dies kann man durch raten nicht erkennen.
Um diesen beiden Problemen aus dem Weg zu gehen, gibt es eine gute Methode. Wir müssen alle Nullstellen (auch doppelte) bestimmen. Hierfür betrachten wie einfach folgendes Beispiel: \[ f(x)= x^3-6x^2+11x-6\] Nun wollen wir mittels raten erstmal eine Nullstelle herausfinden. Also testen wir die Teiler von $-6$. Schon beim ersten Teiler $x=1$ liegt eine Nullstelle vor. \[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \] Wie wir von der Polynomdivision schon wissen, können wir mit ihr zwei Polynome durcheinander dividieren. Machen wir dies nun: \begin{array}{l} \mspace{15mu}(x^3-6x^2+11x-6):(x-1)=x^2-5x+6 \\ -\underline{(x^3\mspace{9mu}-x^2)}\\ \mspace{22mu}\mspace{26mu}-5x^2+11x\\ \mspace{26mu}-\underline{(-5x^2\mspace{9mu}+5x)}\\ \mspace{22mu}\mspace{100mu}6x-6\\ \mspace{100mu}-\underline{(6x-6)}\\ \mspace{11mu}\mspace{152mu}0\\ \end{array} Nun können wir $f(x)$ auch wie folgt schreiben: \[ f(x)=(x-1)\cdot (x^2-5x+6) \] Faktorisieren wir nun noch $x^2-5x+6$, so hätten wir unsere gewünschte Form. Dies können wir über PQ-Formel, Polynomdivision mit raten, Satz von Vieta , oder $\ldots$ erreichen. Hier zum Beispiel mittels quadratischer Ergänzung. \begin{align} x^2-5x+6&=0 &&|\pm \left(\frac{5}{2}\right)^2\\ (x^2-5x + 6{,}25)-6{,}25+6 &=0 &&|\text{2. binomische Formel}\\ (x-2{,}5)^2 &= 0{,}25 &&|\sqrt{\quad} \\ \left|x-2{,}5\right| &= 0{,}5 &&\text{Betrag auflösen} \\ x-2{,}5 &= \pm 0{,}5 &&\\ x_1 &= 2 \quad \text{ und } \quad x_2 = 3 && \end{align} Da $2$ und $3$ Nullstellen von $x^2-5+6$ sind, gilt: \[ x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3) \] Zusammengefasst haben wir nun die folgende Linearfaktorzerleung: \[ f(x) = (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \] Hinweis: Im obigen Satz haben wir noch ein $a \in \mathbb{R}$ als Vorfaktor gegeben. Dieser Faktor ist immer der Faktor vor dem höchsten Exponenten. Bei der Funktion $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x -5$ wäre $a = 2$.

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