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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion


Zuerst wollen wir uns eine Definition von einer ganzrationalen Funktion ansehen.

Ganzrationale Funktion

Unter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion folgender Art: \[ f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0 \qquad \text{mit } a_n,\ldots,a_0 \in \mathbb{R} \]
Nun können wir zum Begriff einer Kurvendiskussion kommen. Bei einer Kurvendiskussion untersuchen wir eine Funktion auf verschiedene Merkmale. Diese Merkmale liefern uns markante Punkte, wie zum Beispiel Nullstellen. Mittels diesen Informationen ist man dann in der Lage eine gute Skizze der Funktion zu erstellen.

Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion enthält die folgenden Punkte:
  1. Definitionsbereich (Was kann/darf ich einsetzen?)
  2. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
  3. Symmetrieverhalten ($f(x) = f(-x)$ oder $f(x) = - f(x)$)
  4. Achsenschnittpunkte ($f(0)$ ist $y$-Achsenabschnitt und $f(x)=0$ für die Nullstellen)
  5. Extrempunkte, sowie Sattelpunkte ($f'(x)=0$ um die Kandidaten $x_i$ zu bestimmen. $f''(x_i) > 0$ bedeutet Tiefpunkt, $f''(x_i) < 0$ bedeutet Hochpunkt)
  6. Wendepunkte ($f''(x)=0$ um die Kandidaten $x_i$ zu bestimmen. $f'''(x_i) ne 0$ bedeutet Wendepunkt)
  7. Wertebereich (Welche Werte nimmt die Funktion an?)
  8. Graph der Funktion
Die roten Erklärungen dienen der Übersicht. Im Folgenden wollen wir diese näher beschreiben und erläutern.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte man in die Funktion einsetzen darf. Im normalen Fall hat eine ganzrationale Funktion den Definitionsbereich \[ \mathbb{D}(f) = \mathbb{R}. \] Gibt es laut Aufgabenstellung eine Einschränkung, wie zum Beispiel Die Funktion gilt nur im Intervall $2 < x \leq 10$ , dann ist der Definitionsbereich weiter einzuschränken. In unserem Beispiel würde gelten \[ \mathbb{D}(f) = (2,10]. \]
3HTAM: Definitionsbereich einer stückweit definierten Funktion

Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches

Da der Definitionsbereich im Allgemeinen ganz $\mathbb{R}$ ist, wird nun das Verhalten für betragsmäßig große $x$-Werte untersucht. Also für $x \to +\infty$ beziehungsweise für $x \to -\infty$.
Dazu betrachtet man einfach nur den Summanden mit dem höchsten Exponenten und untersucht sein Verhalten für betragsmäßig große $x$-Werte. Der Grund hierfür liegt daran, dass für betragsmäßig große $x$-Werte, Zahlen mit größeren Exponenten schneller wachsen.

Dies kann man auch mittels geschickten Ausklammerns zeigen, wie im folgenden Beispiel kurz beschrieben: \begin{align} f(x) &= 4x^3 - 10x^2 + 17x - 53 \\ &= x^3 \cdot \left( 4 - \frac{10x^2}{x^3} + \frac{17x}{x^3} - \frac{53}{x^3}\right) \\ &= x^3 \cdot \left( 4 - \frac{10}{x} + \frac{17}{x^2} - \frac{53}{x^3}\right) \end{align} Wie man sieht geht für $x \to \pm \infty$ die Klammer gegen 4 geht, da die Brüche alle fast 0 werden. Dies liegt an: \[\frac{1}{\text{große Zahl}} \to 0\] Demnach betrachtet man nur $4x^3$ und untersucht sein Verhalten für betragsmäßig große $x$-Werte.

Symmetrieverhalten

Bei der Symmetrie gibt es zwei nennenswerte Arten:
  1. Punktsymmetrisch zum Ursprung.
  2. Achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Der erste Fall liegt vor, wenn eine der folgenden beiden Aussagen gilt:
  • Die Funktion enthält nur gerade Exponenten. Also wenn $f(x)$ von folgender Form ist: \[f(x)= a_{2n}x^{2n}+\ldots+ a_2x^2+a_0\]
  • Es gilt: $f(-x)=-f(x)$
Der zweite Fall liegt vor, wenn eine der folgenden Beiden Aussagen gilt:
  • Die Funktion enthält nur ungerade Exponenten. Also wenn $f(x)$ von folgender Form ist: \[f(x)= a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\ldots+ a_1x\]
  • Es gilt: $f(-x)=f(x)$
Als Beispiel haben wir die folgenden beiden Funktionen: \begin{align} \color{blue}{f(x)}& \color{blue}{=0{,}01 \cdot x^6-0{,}25 \cdot x^4+1{,}5 \cdot x^2-1} \\ \color{red}{g(x)}& \color{red}{=0{,}005 \cdot x^5-0{,}25 \cdot x^3+1{,}5 \cdot x} \end{align}
3HTAM: achsensymmetrische und punktsymmetrische Funktion

Achsenschnittpunkte

Mit Achsenschnittpunkte meint man erstens die Nullstellen der Funktion. Häufig vergessen wird dabei die andere Achse, nämlich die $y$-Achse. Auch diese besitzt einen Schnittpunkt. Dieser ist sehr leicht zu bestimmen.

$y$-Achsenschnittpunkt: Man muss einfach nur $x = 0$ setzen und schon erhält man den Achsenschnittpunkt. \[f(0) \quad \Rightarrow \quad \text{Achsenschnittpunkt} \] $x$-Achsenschnittpunkt oder auch Nullstellen genannt: Hierfür setzt man die Funktion $f(x) = 0$ und bestimmt die $x$-Werte für die diese Bedingung gilt. \[f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Nullstellen} \]

Extrempunkte

Mit Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte gemeint.
3HTAM: Ganzrationale Funktion mit eingezeichnetem Hoch- und Tiefpunkt
Beide haben eine Gemeinsamkeit. Betrachten wir die Steigung an beiden Punkten, so fällt uns auf, dass diese Null sein muss. Dies erkennt man gut an den eingezeichneten Tangenten, die waagerecht verlaufen.

Dies ist auch der Weg, um an die Extrempunkte zu kommen. Die 1. Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an. Somit muss man nur die 1. Ableitung bilden und diese anschließend gleich 0 setzen, da man ja eine Steigung von 0 haben will und löst diese nach $x$ auf.
3HTAM: Ganzrationale Funktion und ihre Ableitung
Somit folgt die notwendige Bedingung: \[ f'(x) = 0 \] Mit der notwendigen Bedingung erhalten wir unsere Kandidaten für unsere Extrempunkte. Diese nennen wir einfach mal $x_a$. Wir wissen, dass die Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x=x_a$ Null ist. Nun gibt es zwei Möglichkeiten (hinreichende Bedingung), zu überprüfen, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder einen Sattelpunkt handelt. Die erste Möglichkeit ist das Vorzeichenkriterium.

Beim Vorzeichenkriterium wählen wir zwei Punkte $x_1 < x_a$ und $x_2 > x_a$ die beide sehr nah an unserem $x_a$ dran sind. Nun setzen wir $x_1$ und $x_2$ in unsere 1. Ableitung ein.
  • Ist $f'(x_1)$ negativ und $f'(x_2)$ positiv so haben wir einen Tiefpunkt.
  • Ist $f'(x_1)$ positiv und $f'(x_2)$ negativ so haben wir einen Hochpunkt.
  • Haben $f'(x_1)$ und $f'(x_2)$ gleiches Vorzeichen, so handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Die zweite Möglichkeit ist es, mit der zweiten Ableitung zu arbeiten. Dann gilt nämlich:
  • Ist $f''(x_a) < 0 $ so haben wir einen Hochpunkt.
  • Ist $f''(x_a) > 0 $ so haben wir einen Tiefpunkt.
Viele sagen nun, was ist mit dem dritten Fall $f''(x_a) = 0$. In den meisten Klassen, so habe ich es erlebt, wird gesagt, dass daraus folgt, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Ich möchte hier keine Revolution aufrufen, jedoch sollte man sich dann über folgende Funktion Gedanken machen. \[ f(x)=x^4 \] Bestimmen wir hier die erste Ableitung so erhalten $f'(x)=4x^3$. Also ist unser Kandidat $x_a=0$. Setzen wir Ihn in die zweite Ableitung $f''(x)=12x^2$ ein so erhalten wir $f''(0)=0$. Also müsste es sich um einen Sattelpunkt handeln. Da es sich bei $f$ jedoch um eine parabelähnliche Funktion handelt, wissen wir, dass es einen Hoch- oder Tiefpunkt geben muss. Am besten ihr macht euch hierüber Gedanken oder sprecht einfach mal mit Freunden oder der Lehrperson im Unterricht darüber.

Wichtig: Man hat bis zu diesem Zeitpunkt nur den $x$-Wert berechnet. Ein Punkt ist aber immer in der Form $(x|f(x))$ anzugeben.

Wendepunkt

Wendepunkte können genauso leicht herausgefunden werden, wie Extremwerte. Hierzu braucht man die 2. und 3. Ableitung. Zuerst setzt man die 2. Ableitung gleich 0 und löst nach x auf. Die Frage, die man sich hier stellen sollte ist, warum die 2. Ableitung. Wie schon bei Abschnitt über die zweite Ableitung, gibt diese Auskunft, über die Krümmung. Bei einem Wendepunkt, haben wir einen Wechsel, von einer Links- zu einen Rechtskrümmung oder umgekehrt. Also erhalten wir als notwendige Bedingung analog zu den Extrempunkte \[f''(x) = 0.\] Mit dieser Bedingung erhalten wir unsere Kandidaten $x_a$. Nun haben wir wie schon vorhin zwei Möglichkeiten. Erstens über Vorzeichenkriterium und zweitens über die dritte Ableitung. Da beim Wendepunkt ein Wechsel der Krümmung zustande kommen soll, so muss beim Vorzeichenkriterium ein Vorzeichenwechsel vorliegen und beim Weg über die Dritte Ableitung, muss diese ungleich 0 sein. \[ f'''(x) \ne 0 \] Auch hier ist die letzte Zeile nicht ganz richtig, da dies für die Funktion $f(x)=x^5$ zum Beispiel wieder nicht gilt. Zur Beruhigung sollte man sagen, dass es nur selten zu solchen Sonderfällen kommt.

Wertebereich

Der Wertebereich $\mathbb{W}$ gibt an, welche Werte $f(x)$ annehmen kann. Hierzu betrachtet man erstens das Verhalten an den Rändern der Funktion und zweitens die Extrempunkte.

Beispiele: Eine stetige Funktion, die an den Rändern gegen $+\infty$ und $-\infty$ geht , hat den Wertebereich $ \mathbb{R}$, da $f(x)$ alle Zahlen annehmen kann.
Bei einer Funktion, die an den Rändern nur gegen $+\infty$ oder $-\infty$ geht, z.B. eine Parabel, hat einen begrenzten Wertebereich, da $f(x)$ entweder nicht gegen $+\infty$ oder $-\infty$ läuft. Die Grenze bestimmt sich in dem Fall (Randverhalten gegen $-\infty$) durch den größte Hochpunkt. Beim Randverhalten gegen $+ \infty$ bestimmt sich die Grenze durch den kleinsten Tiefpunkt.

Graph der Funktion

Als Abschluss einer Kurvendiskussion, sollen die Ergebnisse bildlich dargestellt werden. Hierzu macht man eine Skizze des Graphen $f(x)$ mit seinen markanten Punkte und seinem Randverhalten.

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