In diesem Abschnitt geben wir einige schöne
Eigenschaften des Integrals an. Diese helfen einem beim Berechnen von Integralen oft weiter.
Eigenschaften des Integrals
Sind die Funktionen $f$ und $g$ auf dem Intervall $I$ stetig und sind $a$, $b$, $c \in I$ sowie $c \in \mathbb{R}$, so gilt:
\begin{align}
&a) ~ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx + \int_b^c f(x) ~\mathrm dx = \int_a^c f(x) ~\mathrm dx \\
&b) ~ \int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) ~\mathrm dx = \int_a^b f(x) ~\mathrm dx + \int_a^b g(x) ~\mathrm dx \\
&c) ~ \int_a^b c \cdot f(x) ~\mathrm dx = c \cdot \int_a^b f(x) ~\mathrm dx
\end{align}
Die Eigenschaft $a)$ nennt man auch die
Additivität des Integrals und die Eigenschaften $b)$ und $c)$ werden
Linearität des Integrals genannt.
Wir wollen nun diese drei Eigenschaften beweisen. Hierfür verwenden wir den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung.
Fangen wir mit $a)$ an.
\begin{align}
\color{red}{\int_a^b f(x) ~\mathrm dx} + \color{blue}{\int_b^c f(x) ~\mathrm dx} &= \color{red}{\left(F(b) - F(a)\right)} + \color{blue}{\left( F(c)-F(b)\right)} &&|F(b) \text{ hebt sich auf} \\
&= F(c) - F(a) = \int_a^c f(x) ~\mathrm dx
\end{align}
Eigenschaft $b)$: Sei $H(x) := F(x) + G(x)$. Dann ist $H(x)$ offensichtlich eine Stammfunktion von $h(x):= f(x) + g(x)$. Somit folgt:
\begin{align}
\int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) ~\mathrm dx &= \int_a^b h(x) ~\mathrm dx \\
&= H(b) - H(a)\\
&= \left( F(b) + G(b) \right) - \left( F(a) + G(a) \right) \\
&= \left( F(b) - F(a) \right) + \left( G(b) - G(a) \right) \\
&= \int_a^b f(x) ~\mathrm dx + \int_a^b g(x) ~\mathrm dx
\end{align}
Eigenschaft $c)$: Sei $H(x) := c \cdot F(x)$. Dann ist $H(x)$ offensichtlich eine Stammfunktion von $h(x):= c \cdot f(x)$. Somit folgt:
\begin{align}
\int_a^b c \cdot f(x) ~\mathrm dx &= \int_a^b h(x) ~\mathrm dx \\
&= H(b) - H(a) \\
&=c \cdot F(b) - c \cdot F(a) \\
&= c \cdot \left(F(b) - F(a) \right) \\
&= c \cdot \int_a^b f(x) ~\mathrm dx
\end{align}
Eine weitere Eigenschaft des Integrals tritt beim
Vertauschen zweier Grenzen auf. Vertauschen wir nämlich die Grenzen $a$ und $b$, also obere und untere Grenze,
so bleibt der Betrag der Fläche gleich, ändert aber sein Vorzeichen.
Vertauschte Grenzen
Ist die Funktion $f$ auf dem Intervall $I$ stetig und $a$, $b \in I$, so gilt:
\[ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx = - \int_b^a f(x) ~\mathrm dx \]
Einen weiteren schönen Satz, den ich hier vorstellen möchte, dient zur
Abschätzung von Integralen. Es gibt nämlich einige Integrale, wie zum Beispiel
\[ \int_1^3 \frac{1}{x^2+1} ~\mathrm dx, \]
die man mit unseren bisherigen Mitteln nicht berechnen kann. Wollen wir nun aber eine obere oder untere Schranke finden, so brauchen wir nur eine Funktion, die auf dem Intervall $[1,3]$ größer
beziehungsweise kleiner als $\frac{1}{x^2+1}$ ist.
Abschätzung zu Integralen
Sind die Funktionen $f$ und $g$ stetig auf dem Intervall $I$ und $a$, $b \in I$ und ist $f(x) \leq g(x)$ für alle $x \in [a,b]$, so gilt:
\[ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx \leq \int_a^b g(x) ~\mathrm dx\]
Zum Abschluss wollen wir auch diesen Satz noch beweisen.
Betrachten wir $g(x) - f(x)$. Wegen $g(x) \geq f(x)$ folgt $g(x) - f(x) \geq 0$ auf dem Intervall $[a,b]$. Wenn wir nun das Integral
\[ \int_a^b g(x) - f(x) ~\mathrm dx\]
betrachten, so ist die Fläche $\geq 0$, da $g(x) - f(x)$ keine negativen Werte annimmt. Benutzen wir nun die Linearität des Integrals, so folgt:
\begin{align}
\int_a^b g(x) - f(x) ~\mathrm dx &\geq 0 &&|\text{Linearität anwenden} \\
\int_a^b g(x) ~\mathrm dx - \int_a^b f(x) ~\mathrm dx &\geq 0 &&|+\int_a^b f(x)~\mathrm dx \\
\int_a^b f(x) ~\mathrm dx&\leq \int_a^b g(x)~\mathrm dx
\end{align}
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