Integrale und Sätze 
 
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Verschiedene Sätze über Integrale


In diesem Abschnitt geben wir einige schöne Eigenschaften des Integrals an. Diese helfen einem beim Berechnen von Integralen oft weiter.

Eigenschaften des Integrals

Sind die Funktionen $f$ und $g$ auf dem Intervall $I$ stetig und sind $a$, $b$, $c \in I$ sowie $c \in \mathbb{R}$, so gilt: \begin{align} &a) ~ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx + \int_b^c f(x) ~\mathrm dx = \int_a^c f(x) ~\mathrm dx \\ &b) ~ \int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) ~\mathrm dx = \int_a^b f(x) ~\mathrm dx + \int_a^b g(x) ~\mathrm dx \\ &c) ~ \int_a^b c \cdot f(x) ~\mathrm dx = c \cdot \int_a^b f(x) ~\mathrm dx \end{align}
Die Eigenschaft $a)$ nennt man auch die Additivität des Integrals und die Eigenschaften $b)$ und $c)$ werden Linearität des Integrals genannt.

Wir wollen nun diese drei Eigenschaften beweisen. Hierfür verwenden wir den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung.
Fangen wir mit $a)$ an. \begin{align} \color{red}{\int_a^b f(x) ~\mathrm dx} + \color{blue}{\int_b^c f(x) ~\mathrm dx} &= \color{red}{\left(F(b) - F(a)\right)} + \color{blue}{\left( F(c)-F(b)\right)} &&|F(b) \text{ hebt sich auf} \\ &= F(c) - F(a) = \int_a^c f(x) ~\mathrm dx \end{align} Eigenschaft $b)$: Sei $H(x) := F(x) + G(x)$. Dann ist $H(x)$ offensichtlich eine Stammfunktion von $h(x):= f(x) + g(x)$. Somit folgt: \begin{align} \int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) ~\mathrm dx &= \int_a^b h(x) ~\mathrm dx \\ &= H(b) - H(a)\\ &= \left( F(b) + G(b) \right) - \left( F(a) + G(a) \right) \\ &= \left( F(b) - F(a) \right) + \left( G(b) - G(a) \right) \\ &= \int_a^b f(x) ~\mathrm dx + \int_a^b g(x) ~\mathrm dx \end{align} Eigenschaft $c)$: Sei $H(x) := c \cdot F(x)$. Dann ist $H(x)$ offensichtlich eine Stammfunktion von $h(x):= c \cdot f(x)$. Somit folgt: \begin{align} \int_a^b c \cdot f(x) ~\mathrm dx &= \int_a^b h(x) ~\mathrm dx \\ &= H(b) - H(a) \\ &=c \cdot F(b) - c \cdot F(a) \\ &= c \cdot \left(F(b) - F(a) \right) \\ &= c \cdot \int_a^b f(x) ~\mathrm dx \end{align} Eine weitere Eigenschaft des Integrals tritt beim Vertauschen zweier Grenzen auf. Vertauschen wir nämlich die Grenzen $a$ und $b$, also obere und untere Grenze, so bleibt der Betrag der Fläche gleich, ändert aber sein Vorzeichen.

Vertauschte Grenzen

Ist die Funktion $f$ auf dem Intervall $I$ stetig und $a$, $b \in I$, so gilt: \[ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx = - \int_b^a f(x) ~\mathrm dx \]
Einen weiteren schönen Satz, den ich hier vorstellen möchte, dient zur Abschätzung von Integralen. Es gibt nämlich einige Integrale, wie zum Beispiel \[ \int_1^3 \frac{1}{x^2+1} ~\mathrm dx, \] die man mit unseren bisherigen Mitteln nicht berechnen kann. Wollen wir nun aber eine obere oder untere Schranke finden, so brauchen wir nur eine Funktion, die auf dem Intervall $[1,3]$ größer beziehungsweise kleiner als $\frac{1}{x^2+1}$ ist.

Abschätzung zu Integralen

Sind die Funktionen $f$ und $g$ stetig auf dem Intervall $I$ und $a$, $b \in I$ und ist $f(x) \leq g(x)$ für alle $x \in [a,b]$, so gilt: \[ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx \leq \int_a^b g(x) ~\mathrm dx\]
Zum Abschluss wollen wir auch diesen Satz noch beweisen.

Betrachten wir $g(x) - f(x)$. Wegen $g(x) \geq f(x)$ folgt $g(x) - f(x) \geq 0$ auf dem Intervall $[a,b]$. Wenn wir nun das Integral \[ \int_a^b g(x) - f(x) ~\mathrm dx\] betrachten, so ist die Fläche $\geq 0$, da $g(x) - f(x)$ keine negativen Werte annimmt. Benutzen wir nun die Linearität des Integrals, so folgt: \begin{align} \int_a^b g(x) - f(x) ~\mathrm dx &\geq 0 &&|\text{Linearität anwenden} \\ \int_a^b g(x) ~\mathrm dx - \int_a^b f(x) ~\mathrm dx &\geq 0 &&|+\int_a^b f(x)~\mathrm dx \\ \int_a^b f(x) ~\mathrm dx&\leq \int_a^b g(x)~\mathrm dx \end{align}

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