Fläche zwischen 2 Kurven
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Fläche zwischen zwei Funktionen
In den letzten Abschnitten haben wir kennen gelernt wie man die Fläche unter einer Kurve berechnen kann und zwar mit dem Integral. Dieses gibt die orientierte Fläche bezüglich der $x$-Achse an.
Beispielsweise wird die obige orientierte Fläche beschrieben durch den Integralausdruck: \[ \int_{-1}^2 x^2-1 ~\mathrm dx \] Wollen wir aber die nicht orientierte Fläche bestimmen, so müssen wir erst einmal die Nullstellen des Integranden bestimmen. Diese liegen offensichtlich bei $\pm 1$. Da die Fläche unterhalb der $x$-Achse ein negatives Vorzeichen hat folgt für die gesuchte Fläche $A$: \[ A = - \int_{-1}^1 x^2-1 ~\mathrm dx + \int_1^2 x^2-1 ~\mathrm dx \] Also folgt unser Merksatz für nicht orientierte Flächen.
Der nächste Aufgabentyp in der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächen zwischen zweier Graphen. In diesem Fall will man die nicht orientierte Fläche bestimmen.
Schauen wir uns dazu zu Anfang ein Beispiel an.
Wir haben die Funktionen $f(x)= x^2-2x-1$ und $g(x)= -x^2+4x-1$. Wie man auf der Skizze erkennt, wollen wir die Fläche von $x=0$ bis $x=3$ bestimmen. Diese ist komplett eingeschlossen von den Schnittpunkten der Funktionen. Deshalb hat diese Fläche auch einen besonderen Name und zwar eingeschlossene Fläche.
Gut, nun wollen wir aber mal zur Flächenberechnung kommen. Wenn wir mit den Integralen arbeiten, so könnte es ein Problem werden, dass die Fläche teilweise unterhalb der $x$-Achse ist. Dies ist aber zum Glück kein Problem, da wir beide Graphen einfach um 2 LE nach oben verschieben können. So erhalten wir folgendes Bild:
Wenn man sich dies so ansieht, fällt einem auf, dass sich an der Fläche zwischen den beiden Graphen nichts geändert hat. Nun ist die Fläche komplett oberhalb de $x$ Achse. Nun können wir die gesuchte Fläche $A$ mittels den beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ angeben.
Demnach folgt $A=A_1-A_2$. Schreiben wir diesen Ausdruck in der Integralform und vereinfachen ihn anschließend (Linearität des Integrals verwenden), so erhalten wir: \begin{align} A &= \overbrace{\int_0^3 g(x) +2 ~\mathrm dx}^{A_1}-\overbrace{\int_0^3 f(x) +2 ~\mathrm dx}^{A_2} \\ &= \int_0^3 g(x) +2 - \left( f(x) +2 \right) ~\mathrm dx \\ &\color{red}{= \int_0^3 g(x) -f(x) ~\mathrm dx }\\ &= \int_0^3 -x^2+4x-1 -\left(x^2-2x-1 \right) ~\mathrm dx \\ &= \int_0^3 -2x^2 +6x ~\mathrm dx \\ &= \left[ \frac{-2}{3} \cdot x^3 + \frac{6}{2} \cdot x^2 \right]_0^3 \\ &= \left[ \frac{-2}{3} \cdot x^3 + 3x^2 \right]_0^3 \\ &= \left( \frac{-2}{3} \cdot 3^3 +3 \cdot 3^2 \right) - \left( \frac{-2}{3} \cdot 0^3 +3 \cdot 0^2 \right) \\ &= -18 + 27 = 9 \end{align} Somit haben wir die eingeschlossene Fläche berechnet. Das Wichtigste an dieser Rechnung ist aber die rote markierte Zeile. In der sehen wir nämlich, wie man die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet. Die Verschiebung nach oben ist vollkommen egal, da sie sich wieder aufhebt. Demnach folgt der Satz.
Somit haben wir eine Möglichkeit die Fläche zwischen zwei Kurven zu bestimmen. Aber Achtung, wenn die zwei Funktion wie folgt aussehen:
In diesem Fall ist teilweise $f$ größer als $g$ und teilweise andersherum. Dann bestimmen wir die Fläche indem wir die Nullstellen von $f(x) - g(x)$ bestimmen und dann so verfahren, wie wir bei der nicht orientierten Flächenbestimmung von oben verfahren haben. Demnach kann man auch folgenden äquivalenten Satz angeben.
Beispielsweise wird die obige orientierte Fläche beschrieben durch den Integralausdruck: \[ \int_{-1}^2 x^2-1 ~\mathrm dx \] Wollen wir aber die nicht orientierte Fläche bestimmen, so müssen wir erst einmal die Nullstellen des Integranden bestimmen. Diese liegen offensichtlich bei $\pm 1$. Da die Fläche unterhalb der $x$-Achse ein negatives Vorzeichen hat folgt für die gesuchte Fläche $A$: \[ A = - \int_{-1}^1 x^2-1 ~\mathrm dx + \int_1^2 x^2-1 ~\mathrm dx \] Also folgt unser Merksatz für nicht orientierte Flächen.
Nicht orientierte Fläche berechnen
Wollen wir eine nicht orientierte Fläche bezüglich der Funktion $f(x)$ bestimmen, so geht man wie folgt vor.
- Bestimmen der Nullstellen von $f(x)$.
- Unterteilen der Fläche, in Flächen unterhalb und oberhalb der $x$-Achse.
- Flächen unterhalb der $x$-Achse mit $-1$ multiplizieren.
- Zuletzt aufaddieren der aller Flächen.
Wir haben die Funktionen $f(x)= x^2-2x-1$ und $g(x)= -x^2+4x-1$. Wie man auf der Skizze erkennt, wollen wir die Fläche von $x=0$ bis $x=3$ bestimmen. Diese ist komplett eingeschlossen von den Schnittpunkten der Funktionen. Deshalb hat diese Fläche auch einen besonderen Name und zwar eingeschlossene Fläche.
Gut, nun wollen wir aber mal zur Flächenberechnung kommen. Wenn wir mit den Integralen arbeiten, so könnte es ein Problem werden, dass die Fläche teilweise unterhalb der $x$-Achse ist. Dies ist aber zum Glück kein Problem, da wir beide Graphen einfach um 2 LE nach oben verschieben können. So erhalten wir folgendes Bild:
Wenn man sich dies so ansieht, fällt einem auf, dass sich an der Fläche zwischen den beiden Graphen nichts geändert hat. Nun ist die Fläche komplett oberhalb de $x$ Achse. Nun können wir die gesuchte Fläche $A$ mittels den beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ angeben.
Demnach folgt $A=A_1-A_2$. Schreiben wir diesen Ausdruck in der Integralform und vereinfachen ihn anschließend (Linearität des Integrals verwenden), so erhalten wir: \begin{align} A &= \overbrace{\int_0^3 g(x) +2 ~\mathrm dx}^{A_1}-\overbrace{\int_0^3 f(x) +2 ~\mathrm dx}^{A_2} \\ &= \int_0^3 g(x) +2 - \left( f(x) +2 \right) ~\mathrm dx \\ &\color{red}{= \int_0^3 g(x) -f(x) ~\mathrm dx }\\ &= \int_0^3 -x^2+4x-1 -\left(x^2-2x-1 \right) ~\mathrm dx \\ &= \int_0^3 -2x^2 +6x ~\mathrm dx \\ &= \left[ \frac{-2}{3} \cdot x^3 + \frac{6}{2} \cdot x^2 \right]_0^3 \\ &= \left[ \frac{-2}{3} \cdot x^3 + 3x^2 \right]_0^3 \\ &= \left( \frac{-2}{3} \cdot 3^3 +3 \cdot 3^2 \right) - \left( \frac{-2}{3} \cdot 0^3 +3 \cdot 0^2 \right) \\ &= -18 + 27 = 9 \end{align} Somit haben wir die eingeschlossene Fläche berechnet. Das Wichtigste an dieser Rechnung ist aber die rote markierte Zeile. In der sehen wir nämlich, wie man die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet. Die Verschiebung nach oben ist vollkommen egal, da sie sich wieder aufhebt. Demnach folgt der Satz.
Fläche zwischen zwei Kurven
Es seien $f$ und $g$ stetige Funktionen mit $f(x) \geq g(x)$ auf dem Intervall $[a,b]$. Dann gilt für den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den Kurven $f$ und $g$ über dem Intervall $[a,b]$:
\[ A = \int_a^b f(x) - g(x) ~\mathrm dx \]
In diesem Fall ist teilweise $f$ größer als $g$ und teilweise andersherum. Dann bestimmen wir die Fläche indem wir die Nullstellen von $f(x) - g(x)$ bestimmen und dann so verfahren, wie wir bei der nicht orientierten Flächenbestimmung von oben verfahren haben. Demnach kann man auch folgenden äquivalenten Satz angeben.
Allgemeine Fläche zwischen zwei Kurven
Es seien $f$ und $g$ stetige Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$. Dann ist der Inhalt $A$ der Fläche zwischen den Kurven $f$ und $g$ über dem Intervall $[a,b]$ angegeben durch die
nicht orientierte Fläche von $f(x)-g(x)$ bezüglich der $x$-Achse gegeben.