Partielle Integration 
 
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Partielle Integration


Die Partielle Integration hat eine enge Verbindung zur Produktregel beim Differenzieren, also beim Ableiten. Wir betrachten nun einfach eine Funktion, die Produkt aus zwei Funktionen ist, also zum Beispiel: \[ f(x) = u(x) \cdot v(x) \] Beide Funktionen sollen differenzierbar sein. Nun wollen wir $f'(x)$ bestimmen. Wenn wir uns noch an die Produktregel erinnern so erhalten wir: \[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] Gut, nun fragen sich die Meisten, was dies mit der Integration von Funktionen zu tun hat. Hierfür bilden wir einfach auf beiden Seiten das Integral. Auf der rechten Seite nutzen wir dann noch die Linearität des Integrals aus. Somit erhalten wir folgenden Ausdruck. \[ \int_a^b f'(x) ~\mathrm dx = \int_a^b u'(x) \cdot v(x) ~\mathrm dx + \int_a^b u(x) \cdot v'(x) ~\mathrm dx \] Den linken Ausdruck können wir mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auch noch anders schreiben. \[ \int_a^b f'(x) ~\mathrm dx = \left[ f(x) \right]_a^b = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b \] Setzen wir dies in die obige Gleichung ein und formen etwas um, so erhalten wir die folgende Regel.

Partielle Integration

Sind $u$ und $v$ auf dem Intervall $[a,b]$ differenzierbare Funktionen mit stetigen Ableitungsfunktionen $u'$ und $v'$, so gilt: \[ \int_a^b u(x) \cdot v'(x) ~\mathrm dx = \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b + \int_a^b u'(x) \cdot v(x) ~\mathrm dx \]
Diese Methode wird auch manchmal Produktintegration genannt, da man mit ihr manche Funktionen, die ein Produkt beinhalten, integrieren kann.

Nun wollen wir auch ein Beispiel rechnen, um uns etwas vertrauter mit der partiellen Integration zu machen.
Wir suchen eine Stammfunktion von: \[f(x) = x \cdot e^x \] Bei den ersten partiellen Integrationen die man durchführt, fragt man sich oft, welche Funktion ist $u(x)$ und welche $v'(x)$. Es gibt keine allgemeine Lösung, aber man versucht immer, dass der Ausdruck $u'(x) \cdot v(x)$ leichter zu Integrieren ist. Wenn man sich unsicher ist, versucht man einfach beide Möglichkeiten, so wie wir jetzt.

1. Fall \begin{align} &u(x) = e^x&&\color{green}{v'(x)= x} \\ &\color{blue}{u'(x)= e^x}&&\color{red}{v(x)= \frac{x^2}{2}} \end{align} Somit würden wir anschließend eine Stammfunktion von \[ \color{blue}{u'(x)} \cdot \color{red}{v(x)} = \color{blue}{e^x} \cdot \color{red}{\frac{x^2}{2}} \] bestimmen müssen. Dies sieht eher schwerer aus, als unsere Ausgangsfunktion.

2. Fall \begin{align} &u(x) = x&&\color{green}{v'(x)= e^x} \\ &\color{blue}{u'(x)= 1}&&\color{red}{v(x)= e^x} \end{align} Somit würden wir anschließend eine Stammfunktion von \[ \color{blue}{u'(x)} \cdot \color{red}{v(x)} = \color{blue}{1} \cdot \color{red}{e^x} \] bestimmen müssen. Dies ist die einfachste Aufgabe. Somit lautet eine Stammfunktion von $x \cdot e^x$ wie folgt: \[ x \cdot e^x + \underbrace{e^x}_{\int e^x ~\mathrm dx} = (x+1) \cdot e^x \] Nun wollen wir zum Schluss drei verschiedene Möglichkeiten angeben, wie man mit der partiellen Integration umgehen kann. Natürlich gibt es noch viele andere Fälle, aber im Schulunterricht, sind dies die meisten.
  1. einmaliges Anwenden der partiellen Integration liefert ein Integral, welche wir lösen können (Bsp. $x \cdot e^x$).
  2. mehrmaliges Anwenden der partiellen Integration liefert ein Integral, welche wir lösen können (Bsp. $x^2 \cdot e^x$). Hier sollte man mit mit Minuszeichen aufpassen!
  3. ein- oder mehrmaliges Anwenden der partiellen Integration liefert ein Integral, welches ähnlich dem Gesuchten ist. Dann kann kann mittels Addition die Lösung erhalten (Bsp. $\cos(x) \cdot \sin(x)$).
Ein letzter Hinweis, der häufig zum Weg führt, sofern man das Integral mittels partieller Integration lösen kann. Hat man eine Funktion der Form \[ f(x) = x^n \cdot g(x) \] im Integranden stehen und $g(x)$ ist eine Exponential- oder Trigonometrische Funktion, so bietet es sich an, durch $n$-faches Anwenden der partiellen Integration, dass $x^n$ zu eliminieren.