Integration durch Substitution

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[Zu den Aufgaben]

Bei der Partiellen Integration haben wir eine enge Verbindung zur Produktregel beim Differenzieren gesehen. Nun wollen wir eine weitere Regel fürs Integrieren beschreiben. Hierfür nehmen wir einfach die Kettenregel.

Wir betrachten die Funktion $f$ mit einer Stammfunktion $F$, sowie einer differenzierbaren Funktion $g$. Da wir eine Verbindung zur Kettenregel vermuten, schreiben wir eine Verkettung zweier Funktionen auf. Es bietet sich an \[ H(x) = F(g(x)) \] zu nehmen. Grund hierfür ist, dass wir mittels $f$ und $g'$ die Ableitung von $H$ angeben können. Und zwar folgt mittels der Kettenregel: \[ H'(x) = \underbrace{f(g(x))}_{\text{Äußere}} \cdot \underbrace{g'(x)}_{\text{Innere}} \] Somit haben wir eine Stammfunktion für \[ h(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) \] gefunden. Nun gibt es noch ein kleines Problem mit den Variablen. Um dieses Problem zu lösen, sei $z$ nun die Variable von $f$ und $F$. Dann folgt: \[ \color{blue}{\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) ~\mathrm dx = \left[ F(g(x)) \right]_a^b = F(g(b)) - F(g(a))} = \color{red}{\left[F(z)\right]_{g(a)}^{g(b)} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z) ~\mathrm dx}\] Zur Erklärung des Problems: In den blauen Termen haben wir $x$ als Variable der Funktion. Problem ist, dass wir $F(g(x))$ benötigen. Deshalb substituieren wir $g(x)$ durch $z$. Dies geschieht in den roten Termen.

Demnach folgt die erste Version einer Integralregel: Nun ist dies die erste Version der Regel. Diese wird auch in den meisten Fällen behandelt, jedoch gibt es auch eine weitere Version.

Betrachten wir nun wieder eine Funktion $f$ mit einer Stammfunktion $F$, sowie eine differenzierbaren Funktion $g$. Dieses mal, soll $g$ aber eine Umkehrfunktion $\overline{g}$ besitzen. Nun betrachten wir die erste Version unseres neuen Satzes: \[ \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) ~\mathrm dx = \left[ F(g(x)) \right]_a^b = F(g(b)) - F(g(a)) = \left[F(z)\right]_{g(a)}^{g(b)} = \int_\color{red}{{g(a)}}^\color{red}{{g(b)}} f(\color{blue}{z}) ~\mathrm dx\] Nun substituieren wir $z$ durch $\overline{g}(x)$. Für die Grenzen folgt: \begin{align} \color{red}{{g(a)}} &\quad \Longrightarrow \quad \overline{g}\left( g(a) \right) = a \\ \color{red}{{g(b)}} &\quad \Longrightarrow \quad \overline{g}\left( g(b) \right) = b \end{align} Dies gilt, da $g$ und $\overline{g}$ zugehörige Umkehrfunktionen sind.
Für unsere Variable $z$ gilt weiterhin: \begin{align} \color{blue}{z} &= g(x) &&|\text{Substitution aus dem ersten Satz} \\ &\Longrightarrow \quad \overline{g}\left(g(x)\right) = x \end{align} Somit haben wir den Ausdruck $\int_{g(a)}^{g(b)}f(z) ~\mathrm dz$ umgewandelt. Insgesamt erhält man somit den folgenden zweiten Satz. Wenn man sich diesen Satz ansieht, so fragt man sich nach dem Sinn. Augenscheinlich bekommen wir ein komplizierteres Integral auf der rechten Seite. Jedoch lässt sich bei einigen Funktionen mittels geschickter Substitution der Integrand stark vereinfachen.

Nun wollen wir für beide Varianten ein kurzes Beispiel geben.

Bestimmen Sie mittels Integration durch Substitution den folgenden Ausdruck: \[ \int_0^2 x \cdot e^{x^2} ~\mathrm dx \] Nun ist die erste Frage, was ist unser $f$ und was unser $g$? Wir müssen versuchen, dass wir durch geschicktes Umformen die innere Ableitung abbilden können. Die innere Ableitung von $e^{x^2}$ lautet $2x$. Da wir $x$ schon im Integranden haben, brauchen wir nur ein $\frac{1}{2} \cdot 2$ hinzufügen und erhalten: \[ \frac{1}{2} \cdot \int_0^2 \underbrace{2x}_{\left(x^2\right)'} \cdot e^{x^2} ~\mathrm dx \] Wir können also nun folgende Punkte zusammenfassen: \begin{align} &\text{Substitution:} && g(x)= x^2 ~ \text{ und } ~ f(z)= e^z \\ &\text{Ableitung:}&& g'(x)=2x \\ &\text{neue Grenzen:}&& g(0)= 0 ~ \text{ und } ~ g(2) = 4 \end{align} Mit dem Satz über die Integration mittels Substitution folgt: \begin{align} \frac{1}{2} \cdot \int_0^2 2x \cdot e^{x^2} ~\mathrm dx &= \frac{1}{2} \cdot \int_{g(0)}^{g(2)} e^z ~\mathrm dz \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[e^z\right]_0^4 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^4 - e^0 \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^4 - 1 \right) \end{align} Bemerkung: Wollen wir in diesem Falle nur eine Stammfunktion bestimmen, so müssen wir die Grenzen nicht ausrechnen, sondern am Ende die Substitution rückgängig machen. In diesem Falle folgt: \[ \int x \cdot e^{x^2} ~\mathrm dx = \frac{1}{2} \cdot e^{z} +c= \frac{1}{2} \cdot e^{x^2}+c \]

Bestimmen Sie mittels Integration durch Substitution den folgenden Ausdruck: \[ \int_e^{e^2} \frac{1}{x \cdot \ln (x)} ~\mathrm dx \] Hier können wir leider keine innere Ableitung entdecken wie im ersten Beispiel. Also heißt es nun geschickt substituieren. Hier hat man entweder häufig einen Hinweis oder Erfahrung oder eine gute Intuition. Wir verfahren wie folgt: \begin{align} &\text{Substitution:} && x = e^z =g(z)\\ &\text{Ableitung:}&& g'(z) = e^z\\ &\text{neue Grenzen:}&& \text{Aus } e = e^z \text{ folgt: } z=1 \\ &&&\text{Aus } e^2 = e^z \text{ folgt: } z=2 \end{align} Demnach folgt: \begin{align} &\int_1^2 \frac{1}{z} ~\mathrm dz \\ &= \left[ \ln \left|z\right| \right]_1^2 \\ &= \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \end{align}