Nachdem wir in den letzten Abschnitten zwei schöne Verfahren zur Bestimmung von Integralen kennen gelernt haben, wollen wir uns jetzt mit
gebrochenrationalen Funktionen beschäftigen.
Hierfür schauen wir uns ein paar solcher Funktionen an:
\begin{align}
f(x) &= \frac{1}{x}\\
g(x) &= \frac{1}{x^3}\\
h(x) &= \frac{1}{x+3} \\
i(x) &= \frac{2x}{x^2+4}\\
j(x) &= \frac{4}{x^2+3x+2}\\
\end{align}
Für $f$ und $g$ können wir ohne viel Arbeit, sofort eine
Stammfunktion angeben, und zwar:
\begin{align}
F(x) &= \ln \left|x\right| \\
G(x) &= \frac{1}{-3+1} \cdot x^{-3+1} = \frac{1}{-2 x^2}
\end{align}
Die nächsten beiden Funktionen haben eine Gemeinsamkeit. Betrachten wir den Zähler und Nenner so fällt einen auf, dass der Zähler jeweils die Ableitung vom Nenner ist.
Also folgt mittels dem Logarithmus (siehe
Aufgabe 1 zur Integration durch Substitution):
\begin{align}
H(x) &= \ln \left|x+3\right| \\
I(x) &= \ln \left|x^2+4\right|
\end{align}
Leider haben nicht alle Funktionen diese Form, wo wir leicht eine Stammfunktion angeben können. Ein Beispiel wäre unsere fünfte Funktion $j$. Wie können wir nun aber bei solchen Funktionen verfahren?
Wie der Name dieses Abschnittes schon sagt, liefert eine
Partialbruchzerlegung (PBZ) das gewünschte Ergebnis. Nun fragen sich wohl die meisten:
Was ist denn das? Am Besten erklärt man
dies anhand eines Beispiels.
\[ j(x) = \frac{4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{(x+1) \cdot (x+2)}\]
Nun hat der Nenner die beiden Nullstellen $x=-1$ und $x=-2$, wie man leicht mittels $PQ$-Formel oder ähnlichen Verfahren nachrechnet. Nun kann man unsere Funktion $j$ auch in der Form
\[ j(x) = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \]
schreiben, mit $A,B \in \mathbb{R}$. Nun müssen wir nur noch die beiden Unbekannten finden. Hierfür bringen wir die neue rechte Seite auf einen Bruch. Auf den Hauptnenner $x^2+3x+2$ bringen liefert uns:
\[ j(x) = \frac{A \cdot (x+2) + B \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot (x+2)} = \frac{x(A+B) + 2A + B}{x^2+3x+2} \]
Nun müssen wir nur noch diesen Bruch mit dem vom Anfang vergleichen und einen sogenannten
Koeffizientenvergleich durchführen. Dabei vergleicht man die Koeffizienten vor
$x^0, x^1, x^2 , \ldots$. In unserem Falle bekommen wir also die beiden Gleichungen:
\begin{align}
0 &= A+B \\
4 &= 2A+B
\end{align}
Aus der ersten Zeilen erfahren wir, dass $B=-A$ gelten muss. Setzen wir dies in die erste Zeile ein, so erhalten wir wiederum:
\[ 4 = 2A + (-A) = A \]
Also ist $A=4$ und demzufolge $B=-4$. Nun haben wir es endlich geschafft und eine andere Form, mittels
Partialbruchzerlegung gefunden. Es folgt:
\[ j(x) = \frac{4}{x+1} + \frac{-4}{x+2} \]
Nun können wir einfach eine Stammfunktion angeben, da wir für beide Terme separat eine Stammfunktion bestimmen können.
\begin{align}
J(x)&= 4 \ln \left|x+1\right| -4 \ln \left|x+2\right| &&|\text{4 ausklammern}\\
&= 4 \left ( \ln \left|x+1\right| - \ln \left|x+2\right| \right) &&|\ln(a) - \ln(b) = \ln \left(\frac{a}{b}\right) \\
&= 4 \ln \frac{\left|x+1\right|}{\left|x+2\right|}
\end{align}
Nun könnte man sich fragen, ob dieses Verfahren immer so ausgeht. Leider lautet die Antwort hier nein. Wir haben zwei weitere Fälle die auftreten können.
- Der Nenner unserer Ausgangsfunktion hat eine doppelte Nullstelle. Dann müssen wir ein klein wenig anders Verfahren, dazu machen wir aber gleich noch ein ausführliches Beispiel.
- Der Nenner lässt sich nicht ganz in Linearfaktoren zerlegen. Zum Beispiel könnte es sein, dass der Nenner den Faktor $x^2+1$ enthält, der keine Nullstelle enthält. Man kann
aber zeigen, dass man ein Polynom in Faktoren höchstens zweiten Grades schreiben kann. Für diesen Faktor $x^2+rx+s$ kommt je ein Summand $\frac{Ax + B}{x^2+rx+s}$ in unserem Partialbruchansatz vor.
Beispiel einer doppelten Nullstelle
Nun wollen wir zum Abschluss, noch ein Beispiel einer doppelten Nullstelle ansehen.
\[ f(x) = \frac{2x-1}{(x-1)^2} \]
Wir haben die doppelte Nullstelle $x=1$. Verfahren wir wie im obigen Beispiel, so erhalten wir:
\[ f(x) = \frac{A}{x - \text{ Nst }} + \frac{B}{x - \text{ Nst }} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-1}\]
Um einen Koeffizientenvergleich durchführen zu können, müssen die Nenner beider Seiten erst einmal identisch sein. Also bringen wir die Rechte Seite auf den Nenner $(x-1)^2$ und erhalten:
\[ f(x) = \frac{A \cdot (x-1) + B \cdot (x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x \cdot (A+B) - A-B}{(x-1)^2}\]
Nun vergleichen wir $\frac{x \cdot (A+B) -A-B}{(x-1)^2}$ mit $\frac{2x-1}{(x-1)^2}$ und erhalten die Gleichungen:
\begin{align}
2 &= A+B \\
-1&= -A-B
\end{align}
Formen wir die zweite Gleichung nach $B$ um, so erhalten wir:
\[ -1 = -A-B \quad \Longleftrightarrow \quad B = 1-A\]
Nun heißt es $B$ in die erste Gleichung einsetzen.
\[ 2 = A + (1-A) = 1 \]
Da $2 \ne 1$ ist, gibt es keine Lösung. Demnach existiert auch keine Form:
\[ f(x) = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-1}\]
Woran liegt das? Die Antwort lautet, das man beide Summanden einfach addieren kann, ohne den Nenner zu verändern. Also würden wir
\[ f(x) = \frac{A+B}{x-1} \]
erhalten. Da $A,B \in \mathbb{R}$ waren, können wir in diesen Fällen, kein $x+$ irgendetwas erhalten. Nun gibt es aber zum Glück doch noch eine Möglichkeit, um an eine Stammfunktion zu kommen. Wir brauchen einfach einen anderen Ansatz, und zwar:
\[ f(x)= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}\]
Hätten wir eine dreifache Nullstelle, so würde noch der dritte Summand $\frac{C}{(x-1)^3}$ hinzukommen. Also müssen wir noch einmal einen Koeffizientenvergleich durchführen. Zu erst müssen wir den neuen Ansatz auf den Nenner $(x-1)^2$ bringen.
\[ f(x)= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} = \frac{A \cdot (x-1) + B}{(x-1)^2 = A \cdot x + B - A}\]
Jetzt erhalten wir die beiden neuen Gleichungen:
\begin{align}
2 &= A \\
-1&= B-A
\end{align}
Setzen wir nun $A=2$ in die zweite Gleichung ein, so liefert dies:
\[ -1 = B - 2 \quad \Longleftrightarrow \quad B= -1+2=1\]
Demnach folgt die neue Form:
\[ f(x) = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \]
Nun können wir auch eine Stammfunktion angeben.
\begin{align}
F(x)&= 2 \ln \left|x-1\right| + \frac{1}{-2+1} (x-1)^{-2+1} \\
&= 2 \ln \left|x-1\right| - \frac{1}{x-1}
\end{align}
Hinweis und Tipp
Bisher haben wir nur gebrochenrationale Funktionen betrachtet, wo der Grad des Nenners größer als der des Zählers war.
Wie würde man zum Beispiel bei der Funktion
\[ g(x) = \frac{2x^3-4x^2+4x-1}{(x-1)^2}\]
vorgehen? Die Lösung ist, wie führen eine Polynomdivision durch und erhalten somit eine gebrochenrationale Funktion, wo der Grad des Nenners immer größer als der des Zählers ist.
\begin{array}{l}
\mspace{15mu}(2x^3-4x^2+4x-1):(x^2-2x+1)=2x+\frac{2x-1}{x^2-2x+1} \\
-\underline{(2x^3-4x^2+2x)}\\
\mspace{22mu}\mspace{100mu}2x-1\\
\end{array}
Ein wenig umformen liefert uns folgenden Ausdruck:
\[ g(x) = 2x + \underbrace{\frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}}_{f(x)} \]
Da uns der Bruch vom obigen Beispiel bekannt vor kommt, folgt mit $f(x)$ die Stammfunktion:
\[ G(x) = x^2 + \underbrace{2 \ln \left|x-1\right| - \frac{1}{x-1}}_{F(x)}\]