Stammfunktion 
 
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Stammfunktion


In der Differentialrechnung haben wir gelernt, wie man eine Funktion ableiten kann. So hat die Funktion $f(x)=2x$ die Ableitung $f'(x)=2$. Dies sollte jeden bekannt sein.
Nun wollen wir herausfinden, welche Funktion wie differenzieren müssen, um $f(x)$ als erste Ableitung zu erhalten. Durch Probieren findet man heraus, dass $F(x)=x^2$ eine solche Funktion ist, denn es gilt: \[F'(x) = 2x = f(x)\] Eine solche Funktion wollen wir nun Stammfunktion nennen.

Stammfunktion

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$ im Intervall $I$, wenn für alle $x \in I$ gilt: \[F'(x)=f(x)\]
Nachdem wir nun die Definition einer Stammfunktion haben, kommen wir zur Frage, ob es nur eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion gibt oder mehrere. Die Antwort lautet: Es gibt unendlich viele, sofern $f(x)$ auf dem Intervall stetig ist.
So könnte man in unserem Beispiel auch die Stammfunktion $F_2(x)=x^2+1$ finden. Ihre Ableitung ist wiederum $f(x)=2x$. Es heißt also nicht dieStammfunktion, sondern eineStammfunktion.

Allgemein gilt folgender schöner Satz:

Unterschied zweier Stammfunktionen

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ auf dem Intervall $I$, so gilt für alle weiteren Stammfunktionen $G$, dass sie sich nur um eine Konstante $c \in \mathbb{R}$ unterscheiden. Das heißt es gilt: \[G(x) = F(x)+c \]
Nun können wir uns auf den Weg machen, Stammfunktionen zu suchen. Fangen wir mit den Potenzfunktionen an. \[f(x)=x^n\] Wie könnte nun einer der Stammfunktionen aussehen? Da beim Ableiten, der Exponent um Eins erniedrigt wird, müssen wir beim Aufleiten oder Stammfunktionieren, den Exponenten um Eins erhöhen. Wir wissen also, dass es sich um eine Funktion $n+1$ Grades handelt. Vermuten wir zuerst einmal, dass es \[G(x)=x^{n+1}\] gilt. Leiten wir diese Vermutung ab, so erhalten wir: \[G'(x)=(n+1) \cdot x^n\] Leider stimmt hier der Vorfaktor noch nicht. Dieser muss nämlich Eins sein! Aber da wir den Vorfaktor ändern können, ohne das sich beim Ableiten groß was ändert, müssen wir nur $\frac{1}{n+1}$ bei unserer vermuteten Funktion $G(x)$ einfügen und erhalten so: \[F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \] Dies ist auch eine Stammfunktion, da \[F'(x)=\frac{1}{\color{red}{n+1}} \cdot (\color{red}{n+1}) \cdot x^n = x^n = f(x) \] gilt. Wir haben also nun eine allgemein Stammfunktion für Potenzfunktionen gefunden.
Achtung: Wenn wir die Funktion $f(x) = x^{-1}$ betrachten, so würden wir die Stammfunktion \[ F(x) = \frac{1}{1 + (-1)} x^{-1} = \frac{1}{0} x^{-1}\] erhalten. Hier dividieren wir aber durch Null. Demnach gilt die obige Regel nur für alle $n \ne -1$.

Nun fehlt uns aber immer noch eine Stammfunktion von $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$. Wenn man sich noch an den Logarithmus erinnert, so fällt einem auf, dass die Ableitung von $F(x)=\ln(x)$ gerade unsere fehlende Potenzfunktion ist. \[ F'(x) = \left(\ln(x)\right)' = \frac{1}{x} = f(x)\] Dies gilt aber nur für positive $x$-Werte, da der Logarithmus nur für diese Werte definiert ist. Nun ist aber $f(x)=\frac{1}{x}$ punktsymmetrisch. Dies bedeutet, dass wir als Stammfunktion $F(x) = \ln \left|x\right|$ bekommen. Somit haben wir nun alle Stammfunktionen für die Potenzfunktionen gefunden. Mit dieser Erkenntnis und den Ableitungsregeln folgt folgender Satz, zum Bestimmen von Stammfunktionen.

Unterschied zweier Stammfunktionen

Seien $F$, $U$, $V$ Stammfunktionen von $f$,$u$ bzw. $v$ und $c,r,s \in \mathbb{R}$ Konstanten. Dann gilt:

Funktion Eine zugehörige Stammfunktion
$f(x)=x^n$ $~F(x)=\frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1}$ für $ n \ne -1$
$f(x)=x^{-1}$ $~F(x)= \ln \left|x\right|$
$f(x)=u(x) + v(x)$ $~F(x)= U(x)+V(x)$
$f(x)=c \cdot u(x)$ $~F(x)=\frac{1}{r} \cdot U(rx+s)$
Hinweis: Wollen wir alle Stammfunktionen von einer Funktion $f(x)$ bestimmen, so ist dies gleich dem unbestimmten Integral: \[ \int f(x) ~\mathrm dx \] Als Beispiel wollen wir das unbestimmte Integral von $f(x)=2x$ bestimmen. \[ \int 2x ~\mathrm dx = x^2 + c \] Wichtig ist also in diesem Falle, dass immer die Konstante $c$ mitgeführt werden muss. Bei einem unbestimmten Integral werden keine Grenzen am Integral eingetragen. Daher auch unbestimmt.

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