Integralfunktion

[kommentieren]

[Zu den Aufgaben]

Zu Beginn diesen Abschnittes wollen wir die drei folgenden Integrale betrachten. \[ \int_0^2 x ~\mathrm dx \quad \int_0^4 x ~\mathrm dx \quad \int_0^6 x ~\mathrm dx \] Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es bei den drei Integralen?

• Der Integrand, also hier $f(x)=x$, ist in allen drei Integralen derselbe.
• Die untere Grenze ist in allen drei Fällen jeweils Null.
• Die obere Grenze ist der einzige Unterschied bei den drei Ausdrücken.

Variieren wir nun die obere Grenze, so erhalten wir \[ \int_0^b x ~\mathrm dx \] mit der unbekannten Größe $b \geq 0$. Diesen Ausdruck haben wir in einer Übungsaufgabe zum Thema Unter- und Obersummen behandelt. Hier haben wir herausgefunden, dass \[ \int_0^b x ~\mathrm dx = \frac{b^2}{2} \] gilt. Wir erhalten also einen Wert in Abhängigkeit von der Größe $b$. Diese Abhängigkeit kennen wir zum Beispiel von einer Funktion. Wir können also eine Funktion $J(b)$ definieren, die das oben angegebene Integral widerspiegelt. \[ J(b) := \int_0^b x ~\mathrm dx = \frac{b^2}{2} \] Oft sieht man in Büchern auch den Ausdruck $J_0(b)$. Die Null steht hier für die feste untere Grenze.

Wir können nun ganz einfach die oben betrachteten drei Integrale bestimmen. \begin{align} J_0(2) &= \int_0^2 x ~\mathrm dx = \frac{2^2}{2} = 2 \\ J_0(4) &= \int_0^4 x ~\mathrm dx = \frac{4^2}{2} = 8 \\ J_0(6) &= \int_0^6 x ~\mathrm dx = \frac{6^2}{2} = 18 \end{align} All dies kann man in folgender Definition zusammenfassen: Für die folgenden Übungsaufgaben wollen wir noch zwei weitere Integralfunktionen angeben. Hierbei gilt immer $b \geq 0$. \begin{align} \int_0^b x^2 ~\mathrm dx &= \frac{b^3}{3} \\ \int_0^b x^3 ~\mathrm dx &= \frac{b^4}{4} \end{align}