Integralbegriff
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Einführung des Integralbegriffs
Mithilfe der letzten Abschnitte, können wir nun endlich zur Definition eines Integrals kommen. Umgangssprachlich kann man sagen, dass das Integral einer Funktion $f$ zwischen zweier Grenzen,
gleich der Fläche unterhalb der Funktion $f$ zwischen eben diesen Grenzen ist. Aber da man mit Worten nur schwer Formeln berechnen kann, müssen wir diese Definition etwas präzisieren.
Was brauchen wir dafür?
Eine Funktion ($f(x)$), zwei Grenzen ($a$ und $b$) und dann nur noch die Fläche. Hierfür hatten wir im letzten Abschnitt den gemeinsamen Grenzwert zwischen Ober- und Untersumme gehabt. Also haben wir alles beisammen um das Integral einzuführen.
Als Beispiel betrachten wir die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{4}$.
Nun möchte ich hier ein paar Begrifflichkeiten der neuen Schreibweise aufzeigen.
Eine Funktion ($f(x)$), zwei Grenzen ($a$ und $b$) und dann nur noch die Fläche. Hierfür hatten wir im letzten Abschnitt den gemeinsamen Grenzwert zwischen Ober- und Untersumme gehabt. Also haben wir alles beisammen um das Integral einzuführen.
Das Integral
Die Funktion $f$ sei auf dem Intervall $[a,b]$ stetig. Für jedes $n \in \mathbb{N}_{>0}$ sei $S_n = h \cdot f(x_1) + h \cdot f(x_2) + \ldots + h \cdot f(x_n)$ mit $h=\frac{b-a}{n}$.
Dann heißt der Grenzwert $\lim\limits_{n \to \infty} S_n$ das Integral der Funktion $f$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$. Man schreibt dafür auch: \[ \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \int_a^b f(x) ~\mathrm dx \]
Dann heißt der Grenzwert $\lim\limits_{n \to \infty} S_n$ das Integral der Funktion $f$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$. Man schreibt dafür auch: \[ \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \int_a^b f(x) ~\mathrm dx \]
Nun möchte ich hier ein paar Begrifflichkeiten der neuen Schreibweise aufzeigen.
- $a$ ist die untere Grenze und $b$ die Obere. In unserem Beispiel wäre $a=2$ und $b=4$.
- $f(x)$ wird als Integrand bezeichnet.
- $~\mathrm dx$ gibt an, was die Integrationsvariable ist. In diesem Fall ist das $x$. Bei $~\mathrm dt$ wäre die Integrationsvariable das $t$.