Der silberne Schnitt
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Der silberne Schnitt
Was ist eigentlich der silberne Schnitt? „Meinst
du nicht den goldenen Schnitt?“ Diese Frage bekomme ich oft
zu hören, wenn ich über den „kleinen Bruder“
des goldenen Schnitts rede. Mathematisch gesehen gibt es eine sehr
große Ähnlichkeit zwischen den goldenen und dem
silbernen Schnitt.
Beim goldenen Schnitt wird eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Punkt
$T$ geteilt.
Gilt nun für die beiden Teilstrecken
\[ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} \]
so nennt man $T$ den goldenen Schnitt. Analog hierzu kann man auch den silbernen Schnitt definieren. Hierfür muss nur
\[ \frac{a}{b} = \frac{{\color{red}2a}+b}{a} \]
gelten. In beiden Fällen kann man auch die Quote von $\frac{a}{b} $ bestimmen. Wir machen dies hier nun für den silbernen Schnitt. Hierzu lösen wir die obige Gleichung nach $a$ auf und erhalten:
\begin{align*} \frac{a}{b} &= \frac{2a+b}{a} &&|\cdot ab \\ a^2 &= 2ab+b^2 &&|-2ab-b^2 \\ a^2-2ab-b^2 &= 0 \end{align*}
Nun heißt es die bekannte $PQ$-Formel anzuwenden:
\begin{align*} a_{1,2} &= b \pm \sqrt{b^2+b^2} \\ a_{1,2} &= b \pm b \cdot \sqrt{2} \end{align*}
Man erhält so die beiden Lösungen $a_1 = b - b \cdot \sqrt{2}$ und $a_2 = b + b \cdot \sqrt{2}$. $a_1$ ist negativ, was für eine Streckenlänge keinen Sinn ergibt. Man hat also die Lösung $a = b + b \cdot \sqrt{2} = b \cdot \left(1+\sqrt{2}\right)$. Zuletzt setzen wir dieses Ergebnis in den Quotienten $\frac{a}{b}$ ein und erhalten:
\[ \frac{a}{b} = {b \cdot \left(1+\sqrt{2}\right) }{b} = 1+\sqrt{2} \approx 2{,}414 \]
Für den goldenen Schnitt ergibt sich analog ein Quotient von $1{,}618$.
Gilt nun für die beiden Teilstrecken
\[ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} \]
so nennt man $T$ den goldenen Schnitt. Analog hierzu kann man auch den silbernen Schnitt definieren. Hierfür muss nur
\[ \frac{a}{b} = \frac{{\color{red}2a}+b}{a} \]
gelten. In beiden Fällen kann man auch die Quote von $\frac{a}{b} $ bestimmen. Wir machen dies hier nun für den silbernen Schnitt. Hierzu lösen wir die obige Gleichung nach $a$ auf und erhalten:
\begin{align*} \frac{a}{b} &= \frac{2a+b}{a} &&|\cdot ab \\ a^2 &= 2ab+b^2 &&|-2ab-b^2 \\ a^2-2ab-b^2 &= 0 \end{align*}
Nun heißt es die bekannte $PQ$-Formel anzuwenden:
\begin{align*} a_{1,2} &= b \pm \sqrt{b^2+b^2} \\ a_{1,2} &= b \pm b \cdot \sqrt{2} \end{align*}
Man erhält so die beiden Lösungen $a_1 = b - b \cdot \sqrt{2}$ und $a_2 = b + b \cdot \sqrt{2}$. $a_1$ ist negativ, was für eine Streckenlänge keinen Sinn ergibt. Man hat also die Lösung $a = b + b \cdot \sqrt{2} = b \cdot \left(1+\sqrt{2}\right)$. Zuletzt setzen wir dieses Ergebnis in den Quotienten $\frac{a}{b}$ ein und erhalten:
\[ \frac{a}{b} = {b \cdot \left(1+\sqrt{2}\right) }{b} = 1+\sqrt{2} \approx 2{,}414 \]
Für den goldenen Schnitt ergibt sich analog ein Quotient von $1{,}618$.
Silbernes Rechteck
Wir betrachten nun ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$. Ergibt der
Quotient von den beiden Seiten nun den silbernen Schnitt ($\approx
2{,}414$), so handelt es sich um ein silbernes Rechteck.
Eine
Anwendung im normalen Alltag (also abseits der Mathematik) besitzt
dieses Viereck nicht. Dennoch
kommen viele Gegenstände
aus dem täglichen Leben nahe an das silberne Viereck heran.
Wenn ihr selbst ein silbernes Rechteck im Alltag findet, so füge ich dies gerne den bisherigen Funden hinzu ;)
- Ipod Nano - 5. Generation (91,4 × 38,14 × 6,1 mm): Ergibt einen Quotienten von 2,40 (Link zum Wikipedia-Artikel - IPod)
- Opel Astra 2016: 4,37 Meter Länge und 1,809 Meter Breite (ohne Außenspiegel) ergeben einen Quotienten von 2,416 (Link zum Artikel über den Astra 2016)
- Kinoleinwand: Oft im Format 2,35:1, also mit einem Quotienten von 2,35
- TV-Format 21 : 9: Ergibt einen Quotienten von 2,33
- TetRose: Geometrie-Puzzle in dem der silberne Schnitt als Skalierungsfaktor dient. Gut zu erkennen auf dem unteren Bild. Weiteres zum Puzzle gibt es hier.
Wenn ihr selbst ein silbernes Rechteck im Alltag findet, so füge ich dies gerne den bisherigen Funden hinzu ;)
„Konstruktion“ eines silbernen Rechtecks
Zum Abschluss wollen wir zeigen, wie einfach man mit
haushaltsüblichen Sachen, ein silbernes Rechteck konstruieren
kann.
Man benötigt ein DIN A4-Blatt und eine Schere. Ein DIN A4-Blatt ist 210 mm breit und 297 mm lang. Das Verhältnis dieser Seiten ist $1 : \sqrt{2}$. Nun knickt und schneidet man das Blatt wie auf den folgenden Bildern beschrieben ist:
Man hat so ein Quadrat mit Seitenlänge 210mm und ein Rechteck mit den Seitenlängen 210mm und 87mm erzeugt. Das kleine Rechteck erfüllt nun die Bedingungen für ein silbernes Viereck, denn $210/87 \approx 2{,}414$.
Es kommt nicht nur ungefähr der silberne Schnitt heraus, sondern dies gilt auch genau. Dafür nehmen wir an, dass die kurze Seite die Seitenlänge 1 besitzt und die längere Seite die Länge $\sqrt{2}$. Schneidet man auch nun dieses Papier wie beschrieben in zwei Teile, so hat das kleine Rechteckt die Maße: 1 und $\sqrt{2}-1$. Hierfür gilt nun:
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} \\ &= \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}^2-1^2} \\ &= \sqrt{2}+1 \end{align*}
In der ersten Zeile haben wir mit $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}$ erweitert. Dies ist ein Trick um eine Wurzel aus dem Nenner weg zu bekommen, da man in der folgenden Zeile so die dritte binomische Formel im Nenner anwenden kann. Diese Erweiterung mit der Wurzel kommt oft in der Mathematik vor, da sie ein nützliches Hilfsmittel ist.
Man benötigt ein DIN A4-Blatt und eine Schere. Ein DIN A4-Blatt ist 210 mm breit und 297 mm lang. Das Verhältnis dieser Seiten ist $1 : \sqrt{2}$. Nun knickt und schneidet man das Blatt wie auf den folgenden Bildern beschrieben ist:
Man hat so ein Quadrat mit Seitenlänge 210mm und ein Rechteck mit den Seitenlängen 210mm und 87mm erzeugt. Das kleine Rechteck erfüllt nun die Bedingungen für ein silbernes Viereck, denn $210/87 \approx 2{,}414$.
Es kommt nicht nur ungefähr der silberne Schnitt heraus, sondern dies gilt auch genau. Dafür nehmen wir an, dass die kurze Seite die Seitenlänge 1 besitzt und die längere Seite die Länge $\sqrt{2}$. Schneidet man auch nun dieses Papier wie beschrieben in zwei Teile, so hat das kleine Rechteckt die Maße: 1 und $\sqrt{2}-1$. Hierfür gilt nun:
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} \\ &= \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}^2-1^2} \\ &= \sqrt{2}+1 \end{align*}
In der ersten Zeile haben wir mit $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}$ erweitert. Dies ist ein Trick um eine Wurzel aus dem Nenner weg zu bekommen, da man in der folgenden Zeile so die dritte binomische Formel im Nenner anwenden kann. Diese Erweiterung mit der Wurzel kommt oft in der Mathematik vor, da sie ein nützliches Hilfsmittel ist.