Die Würfel von Efron

Die Würfel von Efron sind nach dem amerikanischen Mathematiker Bradley Efron benannt wurden. Beim Spiel Schere - Stein - Papier wird jedes Zeichen durch ein anderes Zeichen geschlagen. Zum Beispiel schlägt der Stein die Schere. Es gibt also kein "bestes Zeichen" im Spiel. Die Würfel von Efron haben ebenfalls diese Eigenschaft, da es einen besten Würfel hier ebenfalls nicht gibt. Es handelt sich um den folgenden Satz von Würfeln:

Man hat (aufsteigend nach den Augenzahlen) die folgenden vier Kombinationen:

• Würfel 1: 0, 0, 4, 4, 4, 4
• Würfel 2: 3, 3, 3, 3, 3, 3
• Würfel 3: 2, 2, 2, 2, 6, 6
• Würfel 4: 1, 1, 1, 5, 5, 5

Was ist nun das besondere an diesen Würfeln? Nimmt man sich beispielsweise die ersten beiden Würfel raus, so hat der erste Würfel eine höhere Chance zu gewinnen als der zweite Würfel. Hat man mit dem ersten Würfel eine 4 geworfen, so hat man automatisch gewonnen, da der zweite Würfel nur eine 3 schafft. Das heißt, dass man in 4 von 6 Fällen mit dem ersten Würfel eine höhere Zahl schafft, als mit dem Zweiten.
Diese Besonderheit gibt es bei diesem Satz noch häufiger. Man findet nämlich zu jedem Würfel einen Anderen, der eine höhere Chance hat eine größere Zahl zu werfen.

• Würfel 1 ist besser als Würfel 2
• Würfel 2 ist besser als Würfel 3
• Würfel 3 ist besser als Würfel 4
• Würfel 4 ist besser als Würfel 1

Ausführlich wollen wir dies noch für den letzten Fall durchsprechen. Man kann die folgenden Ereignisse werfen (Würfel 1 | Würfel 4).

• Würfel 1 die erste 0:
• (0|1), (0|1), (0|1), (0|5), (0|5), (0|5)
• Würfel 1 die zweite 0:
• (0|1), (0|1), (0|1), (0|5), (0|5), (0|5)
• Würfel 1 die erste 4:
• (4|1), (4|1), (4|1), (4|5), (4|5), (4|5)
• Würfel 1 die zweite 4:
• (4|1), (4|1), (4|1), (4|5), (4|5), (4|5)
• Würfel 1 die dritte 4:
• (4|1), (4|1), (4|1), (4|5), (4|5), (4|5)
• Würfel 1 die vierte 4:
• (4|1), (4|1), (4|1), (4|5), (4|5), (4|5)

In rot sind die Paare, wo der vierte Würfel eine höhere Zahl hat und in grün die Paare, wo Würfel eins die höhere Zahl gewürfelt hat. Von den insgesamt 36 Paaren sind 24 rot und 12 grün. Der vierte Würfel hat also eine doppelt so hohe Chance eine größere Zahl zu würfeln. Diese Eigenschaft bei Würfeln (es gibt zu jedem Würfel einen Würfel, der „besser“ ist), nennt man intransitiv.

Nun bist du an der Reihe. Unten sind drei Würfel mit ganzen Zahlen so zu füllen, dass es sich um intransitive Würfel handelt.

1. Würfel:

 

 

 

 

 

2. Würfel:

 

 

 

 

 

3. Würfel: