Ortskurve einer Funktionenschar und weitere ausgezeichnete Punkte

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[Zu den Aufgaben]

Nun wollen wir einige Punkte durchgehen, die bei typischen Aufgaben von Funktionenschare auftauchen. Diese sind zum Beispiel:

• gemeinsame Punkte
• Nullstellen in Abhängigkeit von dem Parameter
• Ortskurve oder auch Ortslinie genannt von Extremwerten, Sattelpunkte, Wendepunkte

Wir betrachten nun folgende Funktionenschar \[ f_t(x) = tx^2-1 \] und wollen die gemeinsamen Punkte und die Nullstellen bestimmen. Wir setzen für $t$ die Werte 0,1 und 2 ein und zeichnen die jeweiligen Funktionen.

Anhand der Skizzen sehen wir, dass nur der Punkt $(0|-1)$ für einen gemeinsamen Punkt in Frage kommt. Um herauszufinden, ob dies stimmt, müssen wir nur $x=0$ in die Schar einsetzen und kontrollieren, ob $-1$ herauskommt. \[ f_t(0) = t \cdot 0^2 -1 = -1 \] Da das Ergebnis unabhängig von $t$ ist, gehen alle Funktionen der Schar durch den Punkt $(0|-1)$.

Kommen wir nun zur Nullstellenbestimmung. Hierfür verfahren wir, wie gewohnt. Also, wie setzen die Funktion gleich Null und lösen nach $x$ auf. \begin{align} 0&= f_t(x) &&\\ 0&= tx^2-1 &&|+1\\ tx^2&= 1 &&|:t \quad \text{ beachte den Fall } t =0\\ x^2& = \frac{1}{t} &&|\text{ Quadratwurzel ziehen} \\ x&= \pm \sqrt{\frac{1}{t}} && \end{align} Was sagt dies nun über die Nullstellen einer Funktion der Schar aus.

• Ist $t >0$, so ist $\sqrt{\frac{1}{t}}$ definiert und unsere Schar hat die zwei Nullstellen $x= \pm\sqrt{\frac{1}{t}}$.
• Ist $t<0$, so ist $\sqrt{\frac{1}{t}}$ nicht definiert und unsere Funktion hat keine Nullstellen. Dies lässt sich auch dadurch erklären, dass dann die Funktion nach unten geöffnet ist mit Scheitelpunkt bei $y=-1$.
• Ist $t=0$, so dürfen wir in der obigen Gleichung gar nicht durch $t$ teilen. Was ist dann aber $f_0(x)$? Einfach $t=0$ einsetzen liefert $f_0(x) = 0 \cdot x^2 -1 = -1$. Also ist dann die Funktion konstant gleich $-1$ und besitzt demnach auch keine Nullstellen.

Kommen wir nun zum Punkt Ortskurve (oder auch Ortslinie genannt) von Extremwerten, Sattelpunkte, Wendepunkte. Hierfür müssen wir erst einmal klären was eine Ortskurve eigentlich ist.
Dies klingt vielleicht im ersten Moment etwas kompliziert, aber wir versuchen das nun in einem Beispiel verständlich zu erklären.

Betrachten wir nun die folgende Funktionenschar: \[ f_t(x) = (x-t)^2+t\] Wir setzen für $t$ die Werte 0,1 und 2 ein und zeichnen die jeweiligen Funktionen.

Nun wollen wir die Extrempunkte näher ansehen und zum Schluss kommen, dass sie alle auf einer Funktion, der Ortskurve der Extrempunkte, liegen. Hierfür leiten wir die Funktion einmal ab und setzen sie gleich Null. Wir gehen also wie gewohnt vor. \[f'_t(x) = 2 \cdot (x-t) \] Wichtig ist, dass beim Ableiten nicht nach dem Parameter $t$ differenziert wird, sondern nach der Variablen $x$. Zum Beispiel gilt: \[ (t^2)' = 0 \quad \text{aber} \quad (tx)' = t \] Dabei behandeln wir $t$ wie eine gewöhnlich Zahl. Nun setzen wir die erste Ableitung gleich Null und erhalten: \[ f_t(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 =2 (x-t) \quad \Rightarrow \quad x=t \] Also haben wir für die Funktion $f_t(x)$ den möglichen Kandidaten $x=t$ gefunden. Dies passt mit unseren Skizzen überein. Nun überprüfen wir, ob es sich um einen Extrempunkt handelt oder nicht. Also die zweite Ableitung bestimmen und dann $x=t$ einsetzen. \begin{align} f''_t(x) &= 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{ Tiefpunkt bei } x=t \end{align} Nun wollen wir noch die Ortskurve bestimmen. Hierfür formen wir $x=t$ nach $t$ um und setzen dies in die Ausgangsfunktion ein. \[ K(x) = (x-\color{red}{x})^2 + \color{red}{x} = 0^2 +x =x \] Demnach ist die Ortskurve die Ursprungsgerade $K(x)=x$.

Nun wollen wir die Schritte noch einmal kurz zusammenfassen.