Kurvenschar
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Was ist eine Kurvenschar?
Was ist eine Funktionenschar? Die einfachste Antwort lautet eine Schar von Funktionen. Und mehr ist es eigentlich auch gar
nichts, was eine Kurvenschar besser beschreibt. Am Besten schauen wir uns zu erst einmal eine einfache Kurvenschar an, um die Begriffe näher zu
erklären.
Betrachten wir nun die folgende Kurvenschar. \[ f_t(x) = (x-t)^2 + t \qquad \text{ mit } t \in \mathbb{R}\] Wenn man so eine Kurvenschar das aller erste mal sieht, kommen einem viele Fragen auf. Zum Beispiel:
Frage 1 - Was ist das $t$?
$t$ ist ein Parameter, dass heißt wir können einen Wert für $t$ einsetzen und haben dann eine Funktion der Schar. Wichtig ist, dass $t$ keine Variable ist, also unsere Funktion nicht abhängig von $t$ ist. Wir setzen nun 0, 1 oder 2 für unser $t$ ein und erhalten somit drei Funktionen der Schar. \begin{align} f_\color{red}{0}(x) &= (x-\color{red}{0})^2+\color{red}{0} = x^2 \\ f_\color{red}{1}(x) &= (x-\color{red}{1})^2+\color{red}{1} \\ f_\color{red}{2}(x) &= (x-\color{red}{2})^2+\color{red}{2} \end{align} Frage 2 - Wieso steht da am Anfang $f_t(x)$?
Das $t$ in $f_t(x)$ gibt den Parameter an. Haben wir nun einen Wert für unseren Parameter $t$ (zum Beispiel 0,1 oder 2), so handelt es sich bei $f_t(x)$ anschließend um eine ganz gewöhnliche Funktion. In unserem Beispiel von gerade sind die drei Funktionen $f_0$, $f_1$ und $f_2$ drei nach oben geöffnete Parabeln.
Frage 3 - Was muss ich denn nun einsetzen? $t$ oder $x$?
Wie schon gerade gesagt, gibt unser Parameter $t$ an, um welche Funktion der Schar es sich handelt. Wollen wir nun einen Punkt $(a|f_t(a))$ von der Funktion bestimmen, so müssen wir nur $x=a$ in die Funktion $f_t(x)$ einsetzen.
Frage 4 - Wie soll ich mir eine Kurvenschar in einem Koordinatensystem vorstellen?
Hierzu wählt man einfach einige Werte für $t$ und zeichnet dann die entsprechenden Funktion $f_t(x)$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Häufig ist es sinnvoll, einige der Funktionen zu zeichnen, da man so Gemeinsamkeiten gut erkennen kann, beziehungsweise Vermutungen aufstellen kann. In unserem obigen Beispiel würden wir die folgende Skizze erhalten:
Abseits der Mathematik?!?
Zum Abschluss dieser kleinen Einführung möchte ich ein erklärendes Beispiel geben, was nichts mehr mit Funktionen zu tun hat. Man stelle sich eine Familie vor. Zu der Familie gehören beispielsweise 20 Personen und alle haben schon einiges in Ihrem Leben erreicht. Nun können wir dies mit einer Kurvenschar vergleichen und zwar indem wir sagen, dass eine Funktion $f_t(x)$ den Verlauf der Person $t$ darstellt. Also $f_1(x)$ beschreibt den Verlauf von Person 1. Wann wurde er geboren? Wann hat er die Schule beendet. Wann hat er sich das erste mal verliebt? usw. Alle diese Punkte kann man in eine Tabelle eintragen. Die komplette Tabelle ist nun unsere Schar.
Möchten wir aber nur wissen, wie das Leben von Person 2 ist, so setzen wir $t=2$ in unsere Funktionenschar (also schauen in Zeile 2 nach) und
erhalten nur die Punkte für diese Funktion (für diese Person).
Betrachten wir nun die folgende Kurvenschar. \[ f_t(x) = (x-t)^2 + t \qquad \text{ mit } t \in \mathbb{R}\] Wenn man so eine Kurvenschar das aller erste mal sieht, kommen einem viele Fragen auf. Zum Beispiel:
- Was ist das $t$?
- Wieso steht da am Anfang $f_t(x)$?
- Was muss ich denn nun einsetzen? $t$ oder $x$?
- Wie soll ich mir eine Kurvenschar in einem Koordinatensystem vorstellen?
Frage 1 - Was ist das $t$?
$t$ ist ein Parameter, dass heißt wir können einen Wert für $t$ einsetzen und haben dann eine Funktion der Schar. Wichtig ist, dass $t$ keine Variable ist, also unsere Funktion nicht abhängig von $t$ ist. Wir setzen nun 0, 1 oder 2 für unser $t$ ein und erhalten somit drei Funktionen der Schar. \begin{align} f_\color{red}{0}(x) &= (x-\color{red}{0})^2+\color{red}{0} = x^2 \\ f_\color{red}{1}(x) &= (x-\color{red}{1})^2+\color{red}{1} \\ f_\color{red}{2}(x) &= (x-\color{red}{2})^2+\color{red}{2} \end{align} Frage 2 - Wieso steht da am Anfang $f_t(x)$?
Das $t$ in $f_t(x)$ gibt den Parameter an. Haben wir nun einen Wert für unseren Parameter $t$ (zum Beispiel 0,1 oder 2), so handelt es sich bei $f_t(x)$ anschließend um eine ganz gewöhnliche Funktion. In unserem Beispiel von gerade sind die drei Funktionen $f_0$, $f_1$ und $f_2$ drei nach oben geöffnete Parabeln.
Frage 3 - Was muss ich denn nun einsetzen? $t$ oder $x$?
Wie schon gerade gesagt, gibt unser Parameter $t$ an, um welche Funktion der Schar es sich handelt. Wollen wir nun einen Punkt $(a|f_t(a))$ von der Funktion bestimmen, so müssen wir nur $x=a$ in die Funktion $f_t(x)$ einsetzen.
Frage 4 - Wie soll ich mir eine Kurvenschar in einem Koordinatensystem vorstellen?
Hierzu wählt man einfach einige Werte für $t$ und zeichnet dann die entsprechenden Funktion $f_t(x)$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Häufig ist es sinnvoll, einige der Funktionen zu zeichnen, da man so Gemeinsamkeiten gut erkennen kann, beziehungsweise Vermutungen aufstellen kann. In unserem obigen Beispiel würden wir die folgende Skizze erhalten:
Abseits der Mathematik?!?
Zum Abschluss dieser kleinen Einführung möchte ich ein erklärendes Beispiel geben, was nichts mehr mit Funktionen zu tun hat. Man stelle sich eine Familie vor. Zu der Familie gehören beispielsweise 20 Personen und alle haben schon einiges in Ihrem Leben erreicht. Nun können wir dies mit einer Kurvenschar vergleichen und zwar indem wir sagen, dass eine Funktion $f_t(x)$ den Verlauf der Person $t$ darstellt. Also $f_1(x)$ beschreibt den Verlauf von Person 1. Wann wurde er geboren? Wann hat er die Schule beendet. Wann hat er sich das erste mal verliebt? usw. Alle diese Punkte kann man in eine Tabelle eintragen. Die komplette Tabelle ist nun unsere Schar.
| Wer | Geburt | Schulabschluss | Erste mal verliebt | $\ldots$ |
|---|---|---|---|---|
| Person 1 | 03.07.1994 | 2014 | mit 13 | $\ldots$ |
| Person 2 | 24.12.2001 | noch nicht | mit 15 | $\ldots$ |
| $\ldots$ | ||||
| Person 20 | 01.04.1995 | 2014 | mit 14 | $\ldots$ |