Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion

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Eine Kurvendiskussion, ist eine Untersuchung der Funktion auf einige Merkmale. Bei einer gebrochenrationalen Funktion werden die gleichen 8 Punkte untersucht, wie schon bei einer ganzrationalen Funktion.

Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion enthält die folgenden Punkte:

Definitionsbereich (Was kann/darf ich einsetzen?)
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
Symmetrieverhalten ($f(x) = f(-x)$ oder $f(x) = - f(x)$)
Achsenschnittpunkte ($f(0)$ ist $y$-Achsenabschnitt und $f(x)=0$ für die Nullstellen)
Extrempunkte, sowie Sattelpunkte ($f'(x)=0$ um die Kandidaten $x_i$ zu bestimmen. $f''(x_i) > 0$ bedeutet Tiefpunkt, $f''(x_i) < 0$ bedeutet Hochpunkt)
Wendepunkte ($f''(x)=0$ um die Kandidaten $x_i$ zu bestimmen. $f'''(x_i) ne 0$ bedeutet Wendepunkt)
Wertebereich (Welche Werte nimmt die Funktion an?)
Graph der Funktion

Nun wollen wir nur die Unterschiede zu einer Kuvendiskussion bei einer ganzrationalen Funktion durchgehen und Tipps geben. Ansonsten einfach die Punkte dort nochmals nachlesen.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist, wenn nicht anders angegeben $\mathbb{R} \setminus \{\text{ Nullstellen vom Nenner }\}$, da wir nicht durch Null teilen dürfen.

Symmetrieverhalten

Die Symmetrie besser mittels $f(-x) = \pm f(x)$ überprüfen, aufgrund Verwechslungsgefahr. Zur Erinnerung

$f(-x) = + f(x) \quad \Rightarrow \quad f(x)$ ist $y$-achsensymmetrisch
$f(-x) = - f(x) \quad \Rightarrow \quad f(x)$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Mit Verwechslungsgefahr will ich hier ausdrücken, dass es auch eine andere Möglichkeit gibt, so wie bei einer ganzrationalen Funktion. Und zwar lautet hier die Regel für eine Funktion $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$

Enthalten $Z(x)$ und $N(x)$ beide entweder nur gerade Exponenten oder nur Ungerade, so ist $f(x)$ $y$-achsensymmetrisch.
Enthält $Z(x)$ nur gerade Exponenten und $N(x)$ nur Ungerade, bzw. umgekehrt, so ist $f(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches

Wir unterscheiden zwei Arten von Rändern des Definitionsbereiches.

Nullstellen vom Nenner
$x \to \pm \infty$

Beim ersten Punkt betrachten wir hebbare Lücken und Polstellen mit oder ohne VZ und beim zweiten Punkt suchen wir nach einer ganzrationalen Funktion, die das Verhalten für betragsmäßig große $x$-Werte beschreibt.

Achsenschnittpunkte

Den $y$-Achsenabschnittspunkt können wir wie bisher bestimmen ($f(0)$). Bei den Nullstellen müssen wir aufpassen. Die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ sind nämlich alle Nullstellen des Zählers, \underline{sofern} sie im Definitionsbereich liegen. So hat beispielsweise $f(x) = \frac{x}{x}$ bei $x=0$ keine Nullstelle.

Wertebereich

Hier müssen wir besonderen Wert auf die Definitionslücken achten. Zum Beispiel betrachten wir folgende Funktion. \[f(x) = \frac{x^2}{x}\] Kürzen wir bei der Funktion, so ist dies $f(x)=x$. Demnach würde man nun annehmen, dass $\mathbb{W}(f) = \mathbb{R}$ gilt. Nun dürfen wir aber $x=0$ nicht in unsere Funktion einsetzen. Demnach ist der Wertebereich nur $\mathbb{W}(f) = \mathbb{R} \setminus\{0\}$.

Gebrochenrationale Funktion