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Gebrochenrationale Funktion - Grenzverhalten


Wie verhält sich eine gebrochenrationale Funktion für betragsmäßig große $x$-Werte? Bei dieser Frage, könnte man sagen, dass sie gegen irgendeinen Wert geht. Null, Eins, 42 oder Unendlich. Aber bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es eine kleine schöne Besonderheit. Und zwar verhalten sie sich für betragsmäßig große $x$-Werte beispielsweise wie eine Parabel oder eine Gerade. Hierfür wollen wir drei Beispiele durchgehen. \begin{align} 1. ~ f(x) = \frac{x+2}{x^2}\\ 2. ~ g(x) = \frac{x-1}{x+1}\\ 3. ~ h(x) = \frac{x^2}{x+2} \end{align} Im ersten Fall ist der Grad des Nenners größer, im Zweiten sind beide Grade gleich groß und im Dritten ist der Grad des Zählers größer. Aber wie gehen wir nun vor. Bei der ganzrationalen Funktion haben wir einfach den Summanden mit dem größten Exponenten ausgeklammert. Nun gehen wir die Fälle einfach nacheinander durch.

Beispiel 1 - $f(x) = \frac{x+2}{x^2}$:
$f(x) = \frac{x+2}{x^2}$ geht für betragsmäßig große $x$-Werte gegen Null, da $x^2$ schneller für große Werte wächst als $x+2$. Dies gilt immer, wenn der Grad des Nenners größer ist, als der des Zählers.
3HTAM: Grenzverhalten einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel 2 - $g(x) = \frac{x-1}{x+1}$:
Bei $g(x)$ ist der Grad derselbe. Hier kann man geschickt eine Null hinzu addieren und wir erhalten: \[ g(x) = \frac{x-1}{x+1} = \frac{x\color{red}{+1-1}-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{-2}{x+1} = 1 + \frac{-2}{x+1}\] Lassen wir nun $x$ gegen $\pm \infty$ laufen so folgt: \[ \lim\limits_{x \to \pm \infty} g(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} 1 + \underbrace{\frac{-2}{x+1}}_{\to 0} \to 1 \] Also geht unsere Funktion beidseitig gegen Eins.
3HTAM: Grenzverhalten einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel 3 - $h(x) = \frac{x^2}{x+2}$:
Bei $h(x)$ können wir nun mit der Polynomdivision arbeiten. Wir teilen einfach Zähler durch Nenner und erhalten: \begin{array}{l} \mspace{15mu}(x^2\mspace{33mu}\mspace{43mu}):(x+2)=x-2+\frac{4}{x+2} \\ -\underline{(x^2+2x)}\\ \mspace{22mu}\mspace{26mu}-2x\\ \mspace{26mu}-\underline{(-2x-4)}\\ \mspace{22mu}\mspace{84mu}4\\ \end{array} Wir erhalten also folgende andere Schreibweise für unsere Funktion. \[ h(x) = x-2 + \frac{4}{x+2} \] Lassen wir nun $x$ gegen $\pm \infty$ laufen so macht der Summand $\frac{4}{x+2}$ immer weniger aus, da er gegen Null geht. Dies bedeutet dann: \begin{align} \lim\limits_{x \to \pm \infty} h(x) &= \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x+2} \\ &= \lim\limits_{x \to \pm \infty} x-2 + \frac{4}{x+2} \\ &= \lim\limits_{x \to \pm \infty} x-2 \end{align} Unsere Funktion verhält sich demnach für betragsmäßig große $x$-Werte wie $t(x)=x-2$. Dies nennt man auch häufig schräge Asymptote. Natürlich könnte man auch bei der zweiten Funktion die Polynomdivision durchführen mit demselben Ergebnis dann.
3HTAM: Grenzverhalten einer gebrochenrationalen Funktion
Dies bringt uns folgende Merkregel.

Verhalten für betragsmäßig große $x$-Werte

Was bewirken die Nullstellen von $Z(x)$ und $N(x)$? Haben wir eine gebrochenratioanle Funktion $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$, so verhält sie sich für betragsmäßig große $x$-Werte, wie folgt:
  • Ist der Grad von $Z(x)$ kleiner als der von $N(x)$, so geht $f(x)$ beidseitig gegen Null.
  • Ist der Grad von $Z(x)$ gleich der von $N(x)$, so geht $f(x)$ gegen eine Konstante ungleich Null.
  • Ist der Grad von $Z(x)$ um $s$ größer als der von $N(x)$, so verhält sich $f(x)$ wie eine ganzrationale Funktion $s$-ten Grades.

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