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Gebrochenrationale Funktion - Besonderheiten


Unter einer gebrochenrationalen Funktion versteht man Folgendes: \[ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x+a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x+b_0} \quad, a_i, b_i \in \mathbb{R} \] Außerdem sollte das Nennerpolynom einen Grad größer gleich 1 haben, da es sich bei $f(x)$ sonst um eine ganzrationale Funktion handelt.
Wir schreiben nun häufig für eine ganzrationale Funktion $f$ folgendes: \[ f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} \] Mit $Z(x)$ bezeichnen wir das Zählerpolynom und mit $N(x)$ das Nennerpolynom.

Nun gibt es einen großen Unterschied zu einer ganzrationalen Funktion. Da man nicht durch Null teilen darf, kann es sein, dass $N(x)$ Nullstellen besitzt und diese Stellen dann nicht zur Funktion gehören. An den Nullstellen des Nenners macht unsere Funktion einige komische Verhalten der Kurve. So geht die Funktion zum Beispiel gegen Minus Unendlich und kommt bei Plus Unendlich wieder. Oder es fehlt einfach nur ein Punkt in der Funktion. Dieses Verhalten der ganzrationalen Funktionen wollen wir im nächsten Abschnitt näher erläutern. Es gibt drei Besonderheiten:
  1. $Z(x_0)=0$ und $N(x_0) \ne 0$
  2. $Z(x_0)=0$ und $N(x_0) = 0$
  3. $Z(x_0)\ne 0$ und $N(x_0) = 0$
Besonderheit 1 - $Z(x_0)=0$ und $N(x_0) \ne 0$:
Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion $f(x) = \frac{x-2}{x^2+1}$ und $x_0=2$. Setzen wir diese Stelle in die Funktion ein, so erhalten wir \[f(2) = \frac{2-2}{2^2+1} = \frac{0}{5} = 0. \] Wir haben also eine Nullstelle.
3HTAM: Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion
Besonderheit 2 - $Z(x_0)=0$ und $N(x_0) = 0$:
Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x}$ und $x_0=0$. Wollten wir nun diesen Punkt in die Funktion einsetzen, so würden wir folgendes erhalten: \[f(0) = \frac{0^2}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{ nicht definiert } \] Dies ist leider nicht definiert, da wir durch Null teilen. Jedoch können wir unsere Funktion $f(x)$ umformen. Und zwar können wir kürzen. \[ f(x) = \frac{x^2}{x} = x \] Das bedeutet, dass unsere Funktion $f(x)$ eigentlich eine Gerade $g(x)=x$ ist, wobei aber $x=0$ nicht eingesetzt werden darf. Man spricht in diesem Fall von einer hebbaren Lücke. Setzen wir in die Gerade $x=0$ ein, so erhalten wir: \[ g(0) = 0 \] Man hat in einem solchen Fall einfach eine Lücke bei $(0|0)$.
3HTAM: Hebbare Lücke einer gebrochenrationalen Funktion
Leider kann man von diesem Fall nicht auf alle schließe, wobei Zähler und Nenner dieselbe Nullstelle haben. Hierzu sehen wir einfach folgende Funktion an $f(x) = \frac{x}{x^2}$. Auch hier haben wir die gemeinsame Nullstelle $x_0=0$, welche wir wie oben schon gesagt nicht einsetzen dürfen. Nun kürzen wir und erhalten die neue Funktion $g(x) = \frac{1}{x}$. Setzen wir hier $x_0$ ein, so erhalten wir: \[g(0) = \frac{1}{0} \quad \text{ nicht definiert } \] Diesmal hilft uns kürzen nicht weiter. Also haben wir keine hebbare Lücke. Im dritten Punkt wird dieser Fall dann behandelt.

Besonderheit 3 - $Z(x_0)\ne 0$ und $N(x_0) = 0$:
Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion $\frac{x^2+1}{x-2}$ mit $x_0=2$. Setzen wir diesen Punkt in die Funktion ein so würden wir \[ f(2) = \frac{2^2+1}{2-2} = \frac{5}{0} \] erhalten, was aber nicht definiert ist. Auch können wir in diesem Falle nicht durch $x-2$ kürzen. Aber was passiert nun in einem solchen Punkt. Hierfür schauen wir uns die folgende Wertetabelle an.
$x$ $1$ $1{,}9$ $1{,}99$ $1{,}999$ $2$ $2{,}001$ $2{,}01$ $2{,}1$ $3$
$f(x)$ $-2$ $-46{,}1$ $-496{,}01$ $-4996{,}001$ $\emptyset$ $5004{,}001$ $504{,}01$ $54{,}1$ $10$
Wenn wir noch genauer hinsehen, so würden wir feststellen, dass die Funktionswerte über alle Grenzen wachsen. Man nennt eine solche Stelle eine Polstelle. Man unterscheidet dann noch zwei Arten von Polstellen. Die mit Vorzeichenwechsel (VZ) und die Ohne. In unserem Fall springen die Werte von $-\infty$ nach $+\infty$. Demnach haben wir eine Polstelle mit VZ.
3HTAM: Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion
Nun haben wir alle 3 Fälle besprochen. Jedoch macht uns das Zweite ein wenig Probleme, da wir dort auf Anhieb keine Beschreibung geben können. Mittels Linearfaktorzerlegung können wir nun unsere Funktion ein klein wenig anders schreiben. \[ f(x) = \frac{(x-x_{a1}) \cdot (x-x_{a2}) \cdot \cdots \cdot (x-x_{an}) \cdot g(x)}{(x-x_{b1}) \cdot (x-x_{b2}) \cdot \cdots \cdot (x-x_{bm}) \cdot h(x)} \] Mit $g(x)$ und $h(x)$ zwei Polynome, die keine Nullstellen besitzen.

Da uns nur 2) interessiert, nehmen wir an, dass das Zähler- und Nennerpolynom eine gemeinsame Nullstelle $x_0$ besitzen. Demnach ist $x - x_0$ ein Faktor in der Linearfaktorzerlegung von $N(x)$ und $Z(x)$. Nun können wir durch $(x-x_0)$ kürzen und erhalten eine neue Funktion $\tilde{f}$. Hier schauen wir nach ob $x_0$ eine Nullstelle des Zählers und oder des Nenners ist. Hier haben wir wieder die oben genannten drei Möglichkeiten, sowie den Fall das $x_0$ keine Nullstelle von $N(x)$ beziehungsweise $Z(x)$ ist.
Trifft Fall 3) ein, so hat $\tilde{f}$, wie auch $f$ bei $x_0$ eine Polstelle.
Trifft Fall 2) ein, so können wir immer noch keine Entscheidung treffen und wir müssen nochmals durch $(x-x_0)$ kürzen und verfahren wieder von vorne.
Was passiert nun aber bei Fall 1), beziehungsweise wenn $x_0$ keine Nullstelle ist? Beides ist gleichbedeutend mit dem, dass der Nenner von $\tilde{f}$ bei $x_0$ einen anderen Wert als Null hat. Demnach hat aber \[ \tilde{f} (x_0) = \frac{Z(x_0)}{N(x_0)} \] einen Wert, da wir nicht durch Null teilen. Da $\tilde{f}$ unsere Ausgangsfunktion beschreibt mit der Ausnahme der Stelle $\left(x_0,\tilde{f}(x_0)\right)$, hat $f(x)$ bei $x_0$ eine hebbare Lücke.

Somit können wir folgenden wichtigen Satz aufschreiben.

Was bewirken die Nullstellen von $Z(x)$ und $N(x)$?

Was bewirken die Nullstellen von $Z(x)$ und $N(x)$? Sei $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$ so unterscheiden wir drei Punkte
  1. Gilt $Z(x_0)=0$ und $N(x_0)\ne 0$ so hat unsere Funktion bei $x_0$ eine Nullstelle bei $x_0$.
  2. Ist $x_0$ $n$-fache Nullstelle vom Zähler und $m$-fache Nullstelle vom Nenner, so ist bei $x_0$ eine hebbare Lücke genau dann, wenn $n \geq m > 0$ gilt.
  3. Ist $x_0$ $n$-fache Nullstelle vom Zähler und $m$-fache Nullstelle vom Nenner, so ist bei $x_0$ eine Polstelle genau dann, wenn $m > n \geq 0$ gilt.
Nun machen wir zum Abschluss dieses Abschnittes noch ein Beispiel.

Bestimmen Sie alle Nullstellen, Polstellen und hebbare Lücken von: \[ f(x) = \frac{(x-2)(x+3)^2(x-4)^2x^2}{x(x+3)^2(x-4)^3(x+5)}\] Nun können wir die Nullstellen vom Zähler und Nenner einfach ablesen und schreiben sie in eine Tabelle.
$Z(x)$ $-3$ $-3$ 0 0 2 4 4
$N(x)$ $-5$ $-3$ $-3$ 0 4 4 4
Nun schauen wir zuerst nach, welche Nullstelle nur im Zähler ist. Dies ist $x=2$. Demnach ist dies eine Nullstelle der Funktion. Meine Vorgehensweise ist nun, einfach die Nullstellen dann in der Tabelle zu kürzen. Natürlich ist dies kein richtiges Kürzen.
$Z(x)$ $\color{red}{-3}$ $\color{red}{-3}$ $\color{red}{0}$ 0 2 $\color{red}{4}$ $\color{red}{4}$
$N(x)$ $-5$ $\color{red}{-3}$ $\color{red}{-3}$ $\color{red}{0}$ $\color{red}{4}$ $\color{red}{4}$ 4
Was bedeutet dies für unsere Funktion?
  • Die 2 taucht nur im Zähler auf. Somit ist sie eine Nullstelle.
  • Die 0 taucht im Zähler und Nenner auf. Nach dem kürzen ist sie nur noch in $Z(x)$ vorhanden. Somit ist es eine hebbare Lücke.
  • Die -3 taucht im Zähler und Nenner auf. Nach dem kürzen ist sie nicht mehr vorhanden. Somit ist es eine hebbare Lücke.
  • Die 4 taucht im Zähler und Nenner auf. Nach dem kürzen ist sie nur noch $N(x)$ vorhanden. Somit ist es eine Polstelle.
  • Die 5 taucht nur im Nenner auf. Somit ist sie eine Polstelle.

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