Gegeben ist eine Straße mit einem fehlenden
Straßenstück. In dieser Aufgabe wird über
dieses
Straßenstück diskutiert. Die erste Vorgabe, die das
Verbindungsstück zwischen den Punkten $A(0|3)$ und $B_k(k|1)$
erfüllen muss, ist das sie ohne Knick in den bisherigen
Straßenverlauf einmünden muss. Hierbei sei $0
< k \in
\mathbb{R}$.
a) Bestimmen Sie die Funktionenschar $f_k(x)$, die auf dem Intervall
$[0,k]$ den neuen Straßenverlauf angibt und minimalen Grad
besitzt.
(Kontrolle:~ $f_k(x)= \frac{4}{k^3}\cdot x^3 - \frac{6}{k^2}\cdot x^2 +
3$)
x
a)
Die Funktionenschar lautet: $f_k(x)= \frac{4}{k^3}\cdot x^3 -
\frac{6}{k^2}\cdot x^2 + 3$
b) Im Punkt $P(1|2)$ befindet sich ein Kindergarten. Damit die Kinder
nicht von der neuen Straßen gefährdet werden, soll
die
Straße einen Mindestabstand von $0{,}4$
Längeneinheiten zum
Kindergarten haben. Ist dies beispielsweise für das
Verbindungsstück $f_1(x)$ der Fall? (Rechnung!)
x
b) Der Mindestabstand wird eingehalten.
c) Bestimmen Sie nun in Abhängigkeit von $k$ die Orte
(Punkte), an
denen der Fahrer das Lenkrad gerade hält! Betrachten Sie
hierbei
nur die Fälle $0 < x < k$. Wieso sind die
anderen Fälle
trivial, also klar?
x
c) Die Orte sind $W_k = \left(\frac{k}{2}|2\right)$.
d) Zur Verschönerung der neuen Straße sollen
Pflanzen am
Straßenrand angebracht werden. Ein Vorschlag ist folgende
Form:
Eine Gärtnerei hat das Angebot gemacht eine halbe
Flächeneinheit Fläche zu bepflanzen. Bestimmen Sie
nun das
$k$ so, dass die geplante Fläche voll ausgenutzt wird!