Eine Hauswand mit den Punkten $A(6|-1|3)$, $B(3|0|2)$ und $C(0|1|2)$
ist gegeben.
a) Stellen Sie eine Ebenengleichung der Wand auf!
x
a) Eine Ebenendarstellung ist gegeben durch $E:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 6
\\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot
\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot
\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
$
b) Begründen Sie, dass die $xy$-Ebene, eine sinnvole
Darstellung für die Grundfläche beziehungsweise den
Boden darstellt.
x
b) Man zeigt, dass die Ebene $E$ und die $xy$-Ebene senkrecht
aufeinander stehen. Eine Darstellung für die $xy$-Ebene ist
beispielsweise durch $E:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} + \lambda \cdot
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ gegeben.
Einige Kinder spielen in ihrer Freizeit Fußball. Dabei
schießt einer den Ball gegen die Wand. Der Ball
verläuft geradlinig von $F(4|4|0)$ nach $G_a(3|a|2)$,
für gewisses $a \in \mathbb{R}$, sodass $G_a$ in der Wand
liegt. Hierbei ist $G_a$ eine Punktemenge, die man auch als Gerade \[
g:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot
\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \end{pmatrix} \]
darstellen kann.
Nach dem Aufprall des Balles im Punkt $G_a$, fliegt der Ball nach dem
Prinzip "`Einfallswinkel = Ausfallswinkel"' weiter.
c) Bestimmen Sie den Punkt $G_a$ und geben Sie die Geradengleichung
durch $F$ und $G_a$ an.
(Zur Kontrolle: $a=0$)
x
c) Es gilt $G_a = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$. Die
Gerade $h$ durch die beiden Punkte lautet: $h:~\vec{x} =
\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot
\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
d) Unter welchen Winkel trifft der Ball auf die Wand auf?
x
d) Der Aufprallwinkel beträgt ungefähr $63{,}78$
Grad.
e) Bestimmen Sie die Abstand von $F$ zur Hauswand.
x
e) Der Abstand zwischen $F$ und der Ebene $E$ beträgt
ungefähr $4{,}11$ Längeneinheiten.
f) Bestimmen Sie den Ballverlauf, nach dem Abprall von der Wand.
x
f) Der Ballverlauf nach dem Aufprall ist beschrieben durch die Gerade
$k:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot
\begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 3{,}8 \\ 2 \end{pmatrix}$.