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Allgemeine Klausur

Gegeben ist der Punkt $P(1|2|1)$ sowie die Punktmenge $Q_a(-2+a|0|-2)$. Es ist offensichtlich, dass die Punktmenge der Geraden \begin{align} g:~ \vec{x}= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} entspricht.

a) Bestimmen Sie alle $Q_a$ die einen Abstand $d=7$ von $P$ haben.

b) Zeigen Sie, dass $P,Q_0$ und $Q_2$ eine Ebene $E$ aufspannen. Geben Sie auch eine Parameterform der Ebene $E$ an.

c) Bestimmen Sie eine Ebene $F$, die mit der Ebene $E$ als Schnittgerade die Gerade $g$ besitzt. Außerdem soll $F$ orthogonal auf der Ebene $E$ stehen.

Gegeben sei nun die folgende Geradenschar: \begin{align} h_b = \begin{pmatrix} b^2-4{,5}b+5{,5} \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ b \end{pmatrix} \end{align} d) Welche Geraden $h_b$ schneiden die Ebene $F$ orthogonal? Bestimme auch den Schnittpunkt $S$.

e) Zeigen Sie, dass die Gerade $h_{1{,}5}$ ebenenfalls den Schnittpunkt $S$ besitzt. Bestimmen Sie nun den Abstand dieser Geraden zur Geraden $g$.

f) Es sei nun noch der Punkt $R(1|-2|-5)$ gegeben. Unter welchen Winkel trifft die Gerade $i:~\vec{x}= \overrightarrow{OR} + \lambda \cdot \overrightarrow{RS}$ auf die Ebene $F$?

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