Gegeben ist der Punkt $P(1|2|1)$ sowie die Punktmenge $Q_a(-2+a|0|-2)$. Es ist offensichtlich, dass die Punktmenge der Geraden
\begin{align}
g:~ \vec{x}= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align}
entspricht.
a) Bestimmen Sie alle $Q_a$ die einen Abstand $d=7$ von $P$ haben.
x
a) Die Punkte $Q_{-3}(-5|0|-2)$ und $Q_9(7|0|-2)$ haben einen Abstand von 7 zum Punkt $P$.
b) Zeigen Sie, dass $P,Q_0$ und $Q_2$ eine Ebene $E$ aufspannen. Geben Sie auch eine Parameterform der Ebene $E$ an.
x
b) Die Ebene $E$ ist zum Beispiel gegeben durch:
\begin{align}
E:~ \vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
\end{align}
c) Bestimmen Sie eine Ebene $F$, die mit der Ebene $E$ als Schnittgerade die Gerade $g$ besitzt. Außerdem soll $F$ orthogonal auf der Ebene $E$ stehen.
x
c) Die Ebene $F$ ist zum Beispiel gegeben durch:
\begin{align}
F:~ \vec{x}= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}
\end{align}
Gegeben sei nun die folgende Geradenschar:
\begin{align}
h_b = \begin{pmatrix} b^2-4{,5}b+5{,5} \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ b \end{pmatrix}
\end{align}
d) Welche Geraden $h_b$ schneiden die Ebene $F$ orthogonal? Bestimme auch den Schnittpunkt $S$.
x
d) Die Gerade $h_3$ schneidet die Ebene $F$ im Punkt $S(1|3|-4)$.
e) Zeigen Sie, dass die Gerade $h_{1{,}5}$ ebenenfalls den Schnittpunkt $S$ besitzt. Bestimmen Sie nun den Abstand dieser Geraden zur Geraden $g$.
x
e) Die Gerade $h_{1,5}$ schneidet die Ebene $F$ ebenfalls im Punkt $S(1|3|-4)$. Der Abstand der zur Geraden $g$ beträgt 3 LE.
f) Es sei nun noch der Punkt $R(1|-2|-5)$ gegeben. Unter welchen Winkel trifft die Gerade $i:~\vec{x}= \overrightarrow{OR} + \lambda \cdot \overrightarrow{RS}$ auf die Ebene $F$?