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Kreuzfahrt

Auf einem Kreuzfahrtschiff gibt es drei verschiedene Restaurants, die wir mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnen. Am ersten Abend hatten alle drei Restaurants gleich viele Besucher.
Wir gehen nun davon aus, dass jeder zweite Besucher eines Restaurants auch am Folgetag das gleich Restaurant aufsucht. War eine Person am Vortag in Restaurant $A$, so wird Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% Restaurant $C$ aufsuchen. Gleiches gilt auch für Besucher von Restaurant $B$. Hat eine Person Restaurant $C$ besucht und wechselt am nächsten Tag, so entscheidet Sie sich in 30% der Fälle für Restaurant $B$.

a) Skizzieren Sie die Übergange zwischen den drei Restaurants und geben Sie die zugehörige Übergangsmatrix $G$ an.

b) Bestimmen Sie die Besucherverteilung am zweiten Abend.

c) Welches Restaurant hatte an den ersten drei Abend, die wenigsten Besucher? Begründen Sie Ihre Antwort.

d) Bestimmen Sie die Grenzverteilung.

e) Es seien $S$ und $D$ die folgenden Matrizen: \begin{align} S = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 41 \\ 1 & 1 & 29 \\ 2 & 0 & 42 \end{pmatrix} \qquad \text{ und } \qquad D = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} Zeigen Sie, dass für ein geeignetes $x \in \mathbb{R}$ die folgende Gleichung gilt: \[ S \cdot D \cdot S^{-1} = G \]

f) Der Küchenchef von Restaurant $A$ hätte gerne gewusst, mit welcher Besucheranzahl er an den kommenden Tagen zu rechnen hat.
Ermitteln Sie eine Funktion $f(t)$, die den Anteil der Besucher von Restaurant $A$ angibt.

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