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Glasproduktion

Sie stellen zusammen mit einer anderen Firma eine edle Glasform her, mit abnehmbaren Deckel. Die Glasform ist in drei Bereiche eingeteilt. Auf dem Schaubild ist der Querschnitt zu erkennen, der rotierend das Gefäß ergibt.

3HTAM: Glasproduktion - Bild 1

Der Boden wird durch die Funktion $b(x)$ und der Deckel durch $d(x)$ beschrieben, wobei \[ b(x) = \sqrt{x} \text{ für } 0 \leq x \leq 1 \quad \text{ und } \quad d(x) = \frac{2{,}5}{x} \text{ für } 3 \leq x \] gilt.

a) Den mittleren Abschnitt stellt ihr Partner-Unternehmen her. Sie haben folgende Vorgaben:
  • An der Stelle $x=1$ soll der Übergäng glatt sein (auch Krümmungsglatt).
  • An der Stelle $x=3$ soll der Deckel schließen. Glätte ist in dem Fall egal.
  • Die Funktion $f(x)$ soll durch eine ganzrationale Funktion, minimalen Grades, beschrieben werden!
Zeigen Sie, dass die Funktion $f(x)$ mindestens Grad 3 haben muss und durch \[f(x)= - \frac{1}{12} \cdot x^3 + \frac{1}{8} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot x + \frac{11}{24}\] gegeben ist.

b) Nun wird das Mittelstück zu Ihnen verschickt. Dazu soll es in eine quaderförmige Box gelegt werden, wobei aus Sicherheitsgründen der Glasrand (von $x=1$) auf dem Boden der Box liegt damit das Glasstück ein wenig Stabilität hat.
Berechnen Sie nun das minimale Volumen einer solchen Transportbox.

c) Sie verschmelzen nun die Teilstücke $b$ und $f$. Zeigen Sie, dass das Gefäß bei $x=0$ als rund betrachtet werden kann, also keine Spitze hat.

d) Nun wird der Deckel $d$ auf das Gefäß befestigt. Zeigen Sie, dass das Volumen des Gefäßes kleiner als 17 VE ist. Wieso macht diese Konstruktion des Deckels in der Realität aber leider keinen richtigen Sinn?

e) Ein Praktikant ihres Unternehmes findet das Ergebnis in Aufgabe d) etwas komisch. Er ist der festen Überzeugung, dass die Querschnittsfläche des Glasgefäßes unendlich sein muss. Wie kann das gehen, wenn das Volumen aber nur endlich ist?
Berechnen Sie die eingeschlossene Fläche.

Allgemeiner Hinweis zu irgendeiner Teilaufgabe (nicht zwingend erforderlich): Es gilt \[ f(x)^2 = \frac{1}{576} \cdot \left( 4x^6 -12x^5 -39x^4 +28x^3+210x^2+264x +121 \right) \]

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