Überwärtsdivision

Unter dem Motto anders Rechnen gab es ja schon einmal einen Artikel zur Bauernmultiplikation. Nun wollen wir uns um eine Alternative zur Division bemühen. Die schriftliche Division, wie wir sie in der Grundschule lernen, ist sicher, gründlich und gut strukturiert.
Bis zum 19. Jahrhundert kannte man aber noch eine andere Art zwei Zahlen durch einander zu dividieren, nämlich die Überwärtsdivision.

Bei unserer schriftlichen Division schreiben wir unsere Zwischenschritte untereinander hin. Man könnte also sagen, dass es sich hierbei um die Überwärtsdivision handelt.

\begin{array}{l} 208:16=13 \\ \underline{16}\\ \mspace{9mu}48\\ \mspace{9mu}\underline{48}\\ \mspace{19mu}0\\ \end{array}

Wenn wir nun Unter mit Über vertauschen, heißt es dass man früher die Zwischenschritte oberhalb hin geschrieben hat. Dies wollen wir nun in einem Beispiel betrachten.

Wir nehmen wieder die Division $208 : 16$. Zuerst schreiben wir die 208 auf. Der Divisor (die 16) kommt nun nicht wie bisher rechts daneben, sondern unterhalb der 208.

2	0	8
1	6

Nun gehen wir ähnlich der uns bekannten Rechenform weiter. Die erste Frage ist also, wie oft passt die 16 in die 20 rein? Einmal. Die Eins tragen wir also rechts neben der 208 als erste Stelle unseres Ergebnisses auf.

2	0	8		=	1
1	6

Als nächstes multiplizieren wir die 1 mit der ersten Stelle der 16 und subtrahieren dies von dem darüber liegenden. Also $2 - 1 \cdot 1 = 1$. Das Ergebnis schreiben wir oberhalb der 2 hin. Die Stellen des Dividenden und des Divisors die wir nun gebraucht haben, streichen wir einfach durch.

1
2	0	8		=	1
1	6

Was nun fehlt ist die zweite Stelle des Divisors. Also nun unsere erste Stelle des Ergebnisses mit der 6 multiplizieren. Wir ziehen dies nun von den darüber (aber auch links daneben) liegenden Zahlen ab. In unserem Falle stehen die 1 und die 0 links/oberhalb der 6. Als Rechnung wäre also $10 - 6 = 4$ die wir oberhalb der 0 eintragen. Auch hier müssen wir die benutzten Ziffern durchstreichen.

1	4
2	0	8		=	1
1	6	6

Nun haben wir den ersten Schritt getan. Als aktuellen Rest haben wir 48 stehen. Unseren Divisor müssen wir neu eintragen, da er aktuell durchgestrichen ist. Da wir nun einen Schritt weiter sind, schreiben wir die 16 um eine Position nach rechts versetzt unter den Dividenden (die 48) hin. Hierbei sollen keine Lücken entstehen.

1	4
2	0	8		=	1
1	6	6
	1

Jetzt können wir wie gewohnt weiter machen. Wie oft passen die 16 in die 48 rein. Dies geht ohne Rest genau 3 mal rein. Die 3 schreiben wir als zweite Stelle in unsere Ergebniszeile hin.

1	4
2	0	8		=	1	3
1	6	6
	1

Wie schon oben im ersten Schritt müssen wir die 3 mit den jeweiligen Stellen des Divisors (der 16) multiplizieren und vom darüber liegenden Dividenden (aktuell noch 48) abziehen. Also $4 - 3\cdot1 = 1$. Die Eins schreiben wir nun oberhalb der 4 hin.

	1
1	4
2	0	8		=	1	3
1	6	6
	1

Als Letztes brauchen wir nun noch die $18 - 6 \cdot 3 = 0$ zu rechnen. Das Ergebnis kommt oberhalb der 8 hin. Und wieder alles durchstreichen was man so zum Rechnen gebraucht hat.

	1
1	4	0
2	0	8		=	1	3
1	6	6
	1

Der aktuelle Rest ist 0. Somit geht die Division $208:16$ ohne Rest auf und das Ergebnis lautet 13.

Wie kann man mit einigen Worten die Überwärtsdivision zusammenfassen? Anders als bei der schriftlichen Division, wie wir sie heutzutage lernen, schreiben wir die Zwischenschritte oberhalb des Dividenden auf. Die gebrauchten Stellen streichen wir durch. Dies machen wir für jede Stelle nacheinander.

Hier liegt auch schon ein kleiner Vorteil des Verfahrens. Denn bei der üblichen Herangehensweise müsste man im zweiten Schritt die 3 mit der 16 multiplizieren. Ok, dass dies nun 48 ist dürfte noch sehr einfach sein. Aber was ist bei 7 mal 157? Im Kopf ist dies nicht immer sofort zu bestimmen. Zur Not behilft man sich dann einfach der schriftlichen Multiplikation und erhält 1099.

Einen großen Nachteil sehe ich aber in der Nachverfolgbarkeit eines Fehlers. Bei der schriftlichen Division kann man sehr gut die einzelnen Teiloperationen (neue Stelle des Quotienten $\cdot$ Divisor, beziehungsweise Subtraktion zweier Zahlen) nachverfolgen und für sich noch einmal kontrollieren. Habe ich richtig die Differenz gezogen? Habe ich richtig multipliziert? Auch lässt sich ein Fehler vielleicht einfacher mit einem Tintenkiller oder Radiergummi korrigieren. Ich würde nämlich leicht den überblick beim ganzen durchstreichen verlieren. Aber das ist nur meine Meinung.

Ich habe hier auch noch mal ein Tool gebaut, die die überwärtsdivision für beliebige Zahlen durchführt. Als Beispiel kannst du ja selber mal $117:9$ versuchen. Wenn du nicht weiter kommst, kannst du ja das Tool heranziehen. Viel Spaß ;)

Bitte gebe einen Dividenden und einen Divisor ein:

Dividend:
Divisor:
Start



Falls es Probleme mit dem Tool gibt oder ihr sonstige Anmerkungen zum Überwärtsdivision habt, dann schreibt mir einfach. Ansonsten hoffe ich, dass ich euch einen neuen Einblick in einfache Matheverfahren geben konnte.