Münzen

Im Euroraum haben wir derzeit 8 Münzen. 6 davon für den Cent-Bereich und dann noch die 1 und 2 Euro Münze. Aber warum haben wir eigentlich eine solche Aufteilung? Gibt es vielleicht eine andere sinnvollere Aufteilung?
Dies wollen wir in diesem Artikel untersuchen. Hierfür vergleichen wir die Aufteilung mit weiteren Möglichkeiten.

Wir konzentrieren uns um den Cent-Bereich. Hierfür gibt es die folgenden 6 Werte.

• 1 Cent
• 2 Cent
• 5 Cent
• 10 Cent
• 20 Cent
• 50 Cent

Bevor wir uns Gedanken um andere Müzsyteme machen, müssen wir uns Vergleichskriterien definieren. In welchen Punkten wollen wir die Systeme vergleichen?

1. Wie viele Münzen braucht man maximal um einen beliebigen Wert von 1 Cent bis 99 Cent zu bilden.
2. Wie viele Münzen braucht man im Durchschnitt um einen beliebigen Wert von 1 Cent bis 99 Cent zu bilden.
3. Wie oft wird jede Münze im Durchschnitt benötigt, um einen beliebigen Wert von 1 Cent bis 99 Cent zu bilden.

Das Euro-System besteht wie oben gesagt aus 6 Müzen unteralb eines Euros. Schauen wir in die USA so haben wir hier nur 5 Münzen. Ein Vergleich ist deshalb nicht sinnvoll. Ein Unterschied zwischen den beiden Währungsräumen ist aber, dass es in den USA der Quarter gibt. Dieser würde im Euroraum, der 25 Cent Münze entsprechen. Demnach ersetzen wir einfach die 20 Cent durch die 25 Cent. Unsere zweite Aufteilung sieht demnach wie folgt aus:

• 1 Cent
• 2 Cent
• 5 Cent
• 10 Cent
• 25 Cent
• 50 Cent

Ein drittes Vergleichssystem basiert auf dem Binär-System. Wir gehen also in Zweierpotenzen hoch, bis wir 6 Münzen haben.

• 1 Cent
• 2 Cent
• 4 Cent
• 8 Cent
• 16 Cent
• 32 Cent

In diesem System kommen wir leider nur bis 32 Cent, sodass es vor allem bei höheren Cent-Werte eher schlecht aussehen k&oum;nnte.

Nun bin ich für 1 bis 99 Cent die drei Währungssysteme durchgegangen. Ich habe geschaut, welche Münzen ich für welchen Betrag brauche. Natürlich habe ich versucht, immer so wenig Münzen wie möglich zu benutzen. Somit habe ich am Ende eine lange Liste mit allen Kombinationen erhalten. Die erste Frage von oben war, wie viele Münzen man maximal braucht. Bei den beiden EUR-Systemen (normal und mit 25 Cent Münze) braucht man maximal 6. Bei der binären Variante braucht man für einen Wert 7 Münzen. \begin{align} 95 &= 32 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 \end{align} Dies liegt leider daran, dass wir die 64 Cent Münze heraus genommen haben.



Dieses Ergebnis spricht in ersten Linie für die beiden bekannteren Systeme, da wir hier nur maximal 6 Münzen benötigen.

Unsere zweite Frage hat sich mit der durchschnittlichen Anzahl beschäftigt.

• Das EUR-System hat im Schnitt $3{,}\overline{43}$ Münzen benötigt.
• Das EUR-System mit einer 25 Cent Münze hat im Schnitt ebenfall $3{,}\overline{43}$ Münzen benötigt.
• Das Binär-System braucht im durchschnittlich etwas mehr Münzen, nämlich $3{,}\overline{5}$.

Unsere letzte Frage bezieht sich auf die Verteilung der Münzen. Welche Münze braucht man wie oft im Durchschnitt. Auch diese Frage wollen wir nun kurz beantworten.

1 Cent	2 Cent	5 Cent	10 Cent	20 Cent	50 Cent
$0{,}\overline{40}$	$0{,}\overline{80}$	$0{,}\overline{50}$	$0{,}\overline{40}$	$0{,}\overline{80}$	$0{,}\overline{50}$

1 Cent	2 Cent	5 Cent	10 Cent	25 Cent	50 Cent
$0{,}\overline{40}$	$0{,}\overline{80}$	$0{,}\overline{40}$	$0{,}\overline{80}$	$0{,}\overline{50}$	$0{,}\overline{50}$

1 Cent	2 Cent	4 Cent	8 Cent	16 Cent	32 Cent
$0{,}\overline{50}$	$0{,}\overline{50}$	$0{,}\overline{48}$	$0{,}\overline{48}$	$0{,}\overline{48}$	$1{,}\overline{09}$

Was können wir mit diesen drei Tabellen anfangen? Wir sehen zum Beispiel, dass beim EUR-System wir vor allem 2 und 20 Cent Münzen benötigen. Diese beiden Münzen machen fast die Hälfte aller Cent Münzen aus, die wir im Idealfall benötigen um passend den Betrag auszugeben.
Das Binär-System hat eine viel gleichmäßigere Verteilung der Münzen. Hier wird nur die größte, die 32 Cent Münze, häfig verwendet. Dieses System bietet aber keinen Mehrgewinn für uns. Auch das Austauschen der 20 Cent Münze in eine 25 Cent Münze macht im Durchschnitt keinen Unterschied aus.

Ganz am Anfang haben wir eventuell auf ein System gehofft, welches besser ist, als unser bestehendes System. Da ich mit den obigen Ergebnissen etwas unzufrieden war, habe ich noch ein paar weitere Kombinationen getestest. Und siehe da, es gab auch ein besseres System.

• 1 Cent
• 2 Cent
• 5 Cent
• 12 Cent
• 25 Cent
• 50 Cent

Wenn wir die 10 und 20 Cent Münzen tauschen gegen eine 12 und 50 Cent Münze, so ergeben sich die folgenden Ergebnisse:

• Wir brauchen wieder 6 Münzen maximal.
• Im Durchschnitt benötigen wir nur $3{,}\overline{35}$ Münzen, anstelle von $3{,}\overline{43}$

Aber auch die Anzahl der jeweiligen Münzen ist etwas gleichmäßiger.

1 Cent	2 Cent	5 Cent	12 Cent	25 Cent	50 Cent
$0{,}\overline{40}$	$0{,}\overline{64}$	$0{,}\overline{72}$	$0{,}\overline{56}$	$0{,}\overline{50}$	$1{,}\overline{50}$

Dieses Münz-System scheint auf dem ersten Blick nur Vorteile zu besitzen. Jedoch ist die 12 Cent Münze etwas kompliziert zum Kopfrechnen. Mathematisch und statisch gesehen, würde aber einiges für dieses System sprechen.

Hast du ein noch besseres System gefunden, welches nur 6 Münzen beinhaltet? Dann schreib mir einfach. Ich freue mich schon auf deine Rückmeldung.