Sangaku - Kreis-Quadrat-Kreis

Das zweite Sangaku Kreis-Quadrat-Kreis :

Offensichtlich ist der Durchmesser (doppelter Radius) des roten Kreises und die Seitenlänge des Quadrates identisch. \begin{align} 2\cdot\color{red}{r_2} &= a &&|:2\\ \color{red}{r_2} &= \frac{a}{2} && \end{align} Als zweiten Schritt schauen wir uns den blauen Kreis an. Hier ist der Durchmesser genauso groß wie die Diagonale des Quadrates. Für die Diagonale gilt nach dem Satz des Pythagoras: \[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\] Ziehen wir hier nun die Wurzel und setzen $d = 2 \cdot \color{blue}{r_1}$ so erhalten wir: \begin{align} d = \sqrt{2a^2} &= 2 \cdot \color{blue}{r_1} &&|:2 \\ \color{blue}{r_1} &= \frac{\sqrt{2a^2}}{2} &&|\text{ teilweises Wurzelziehen} \\ \color{blue}{r_1} &= \frac{\sqrt{2}a}{2} && \end{align} Als Letztes müssen wir nur noch die beiden Radien durch einander dividieren und erhalten so ihr Verhältnis. \begin{align} \frac{\color{blue}{r_1}}{\color{red}{r_2}} &= \frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{a}{2}} && \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} &&\\ &= \sqrt{2} && \end{align} Somit haben wir das Verhältnis zwischen den beiden Radien bestimmt.